3 + 1 ayrıştırma için ters metrik

Bunu bir kez ve herkes için yapmama izin verin. Soru spiridon tarafından cevaplanmış olsa da, spiridon'un cevabı tahmin çalışması içerdiğinden biçimsel bir türetme vermek istiyorum. Bölünmüş bir matrisin tersini hesaplamamız gereken bir durum var. Öyleyse, önce bölünmüş matrislerin tersi için genel bir formül çıkaralım ve sonra bunu metriğe uygulayalım.

İki tekil olmayalım $n\times n$ matrisler $A$ ve $B$ aşağıdaki gibi bölümlendirilebilir, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} İzin Vermek $A_{11}$ ve $B_{11}$ olmak $k\times k$ matrisler $k<n$. Ayrıca varsayacağız,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Şimdi eğer $B=A^{-1}$, sonra bileşen matrislerini bulacağız $B$ bileşen matrisleri açısından $A$. Sahibiz,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Bu matris ilişkisi, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} (2) ve (3) 'ten, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Bunları (1) ve (4) 'e koyarsak, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Bu nedenle \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Şimdi bunları (2) ve (3) ile değiştirirsek, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Bu nedenle, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Amacımız için genişletmek uygun olacaktır, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$Woodbury matris kimliği açısından . Önce kimliği türetelim. Bunu not et,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Bu, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}gerekli tüm tersler var! Sonra,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Böylece, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}Yukarıdaki özdeşliğe Woodbury matris kimliği denir . Şimdi, tanımlama$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ ve $V=A_{12}$, anlıyoruz \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Bu nedenle, nihayet sahibiz \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Bu genel formülü elde ettikten sonra, metriğin tersini hesaplamaya geri dönelim. Sahibiz,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Şimdi, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Ayrıca şunu da not ediyoruz: $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Sonra,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} ve \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} ve sonunda, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Voila! Zevk almak!

Belki de bunu tahmin etmeden yapmanın daha net bir yolu vardır. Ters matrisin tanımından başlayacağım:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ Veya daha somut olarak: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Bileşenlerde yazılı: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Şimdi, simetrisini kullanarak $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ değişimi altında $\mu \leftrightarrow \nu$orada olduğunu görebilir $ D(D+1) / 2$ aynı sayıda bilinmeyenler üzerinde ilke olarak çözülebilen doğrusal denklemler.

Bunları doğrudan yapmak sıkıcı bir görev gibi görünüyor, bu yüzden eğitimli bir tahmin olabilir. Varsayalım ki bunu bildik$g^{00}$ dır-dir $-N^2$genel olarak ansatz olabilir $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, daha sonra ilk denklem ayarlanarak hemen çözülür: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$O zaman ikinci satıra bakılabilir. Burada varsaymak da doğaldır,$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, nerede $b^{\mu \nu}$aynı zamanda simetriktir. Bu ikame verir:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Burada da görülebilir ki, $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ işi yapar.

Bu cevap, spiridon'u biraz genişletir ve OP'nin kurulumunun bazı kısımlarını biraz farklı bir dilde yeniden ifade eder.

Ters metrik $g^{-1}$tensör olmak koordinattan bağımsızdır. Bu nedenle, belirli bir koordinat sistemindeki ters metriğin bileşenlerini belirlemenin bir yolu, onu koordinattan bağımsız bir temsilden türetmektir. Temelde ters metrik ise$\{{\bf e}_a\}$ tarafından verilir $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ daha sonra bileşenleri eylemi ile verilir $g^{-1}$ ikili temelde $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ Uzay-zamanın 3 + 1 ayrışması, skaler bir alanın düz yüzeyleri (gerçekten hiper yüzeyler) tarafından gerçekleştirilir. $f$. Normal bir birim$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. Normal birimden$n^a$ paralel olarak projektörler inşa edilebilir ($P_\parallel$) ve ortogonal ($P_\perp$) ona. Bileşenleri ifadelerle verilmiştir$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Bu projektörlerle metriğin bileşenleri belirlenebilir $g_{ab}$ hiper yüzey yapraklanması açısından: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ Tensör alanı $h_{ab}$birim normal ile her daralması ortadan kalktığı için hiper yüzeylerde indüklenen metriktir. Benzer şekilde, ters metriğin bileşenlerinin$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ Belirli bir hiper yüzeyde $f=t$, biri tek parametreli koordinat seti sunar $y^\alpha$ bir işlevi olarak sorunsuz değişen $t$. Bu, bir dizi vektör alanı oluşturur$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$Hiper yüzeyden uzay-zamana bir gömme haritası görevi gören hiper yüzeye teğet. Özellikle, indüklenen metrik, ilişki yoluyla bu yeni koordinatlar cinsinden ifade edilebilir.$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. Bu koordinat sisteminde zaman vektörü$t^a$ genellikle hiper yüzeye ortogonal değildir, ancak ortogonal olarak ayrıştırılabilir. $N$ ve teğetsel $N^\alpha$ parçalar: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Bunu not et $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ zaman vektörünün ikilidir $t^a$. \ Eqref {decomposition} 'un \ eqref {inverse} olarak değiştirilmesi sonra verir$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Verilen koordinat sistemindeki ters metriğin bileşenleri daha sonra daralma ile bulunabilir: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Referanslar:

• E. Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - bölüm 3, 4
• E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Biçimcilik ve Sayısal Göreliliğin Temelleri - bölüm 2, 3