Atiyah'ın SD indirgenemez YM bağlantılarının modül uzayının kanıtı

Dec 16 2020

Atiyah, Hitchin ve Singer, "Dört Boyutlu Riemann Geometrisinde Öz-dualite" (1978) makalesinde, kendi ikili indirgenemez Yang-Mills bağlantılarının uzayının bir Hausdorff manifoldu olduğuna ve boş değilse ayarlayın, ardından boyut verilir $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Nerede $\chi(M)$ Euler karakteristiğidir ve $\tau(M)$ imza.

DÜZENLEME: Orijinal kağıdın bir hata / yazım hatası içerdiği ortaya çıktı. Aslında olmalı$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Düzenleme sonu.

Yazının tamamını anlamayı sevsem de, henüz bunu yapabilecek durumda değilim, sadece bu boyutun hesaplanmasını anlamaya çalışıyorum, çünkü Atiyah'ın bazı uygulamalarıyla ilgileniyorum. Şarkıcı indeks teoremi.
Bu boyutu hesaplamak için, kağıtta aşağıdakiler kullanılmıştır: Let$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ bazı yardımcı paketlerdeki değerlere sahip bir iplikçi paketi için Dirac operatörü olun $E$. İndeks teoremine göre,$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ Dördüncü boyutta $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(ama bu nerede kullanılıyor?). Kanıt için alıyoruz$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Sonra$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Çok uzak çok iyi. Aşağıdaki hesaplamadaki izimi kaybediyorum:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Nerede $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Denklemin kırmızı renkli kısmını açıklayan bir sonuç bulmaya çalışıyordum, çünkü bu adım tamamen önemsiz görünüyor ve buna rağmen, kağıt içinde hiç detaylandırılmamış ve yapamıyorum bu adımı açıklayan herhangi bir kaynak bulun. In Dirac operatörü ve paket simetrik ürün büküm Chern karakteri Index kabul cevap bu sonuç çok özel durumda, nasıl elde edildiğini açıklayan doğru bir şekilde gider bir cevap vermek gibi görünüyor. Ancak, bu alanda çok tecrübeli değilim ve sonucu keyfi bir ilkeye nasıl genelleyeceğimi bilmiyorum.$G$- paket. Birisinin kendi cevabını veya referansını sağlayıp sağlayamayacağı konusunda yukarıdakilerin bir açıklamasını arıyorum. Her ikisi de çok takdir edilecektir.

Yanıtlar

14 LiviuNicolaescu Dec 16 2020 at 05:29

Umarım bunu iyi hatırlıyorum. Danışmanım bana bu hesaplamayı açıkladı, kaç yıl önce düşünmek bile istemiyorum.

SD denkleminin deformasyon kompleksi şu şekildedir: $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

Kendinden ikili bağlantıların modül uzayının boyutu, bu operatörün indeksidir. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Bu operatör ile bükülerek elde edilir. $\Ad(P)$ operatör

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

Bu operatör $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ bahsettiğiniz gazetede.

Atiyah-Singer endeksi teorisi gösteriyor ki $\ind L$ dır-dir

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

nerede $[--]_4$ dereceyi gösterir $4$ homojen olmayan diferansiyel formun bir parçası.

Biz çıkarırız

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

derece nerede $4$ itibaren $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ indeks yoğunluğu $D$ Atiyah-Singer indeks teoreminde görünen $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$

Böylece

$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$

Şimdi ifade et $(b_1-b_2^--b_0)$ imza açısından $\tau=b_2^+-b_2^-$ ve Euler karakteristiği $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.