Belirle $f(x)=x^2$ verilen alanda tekdüze süreklidir.

Question

Aşağıdaki fonksiyonun verilen etki alanında tekdüze olarak sürekli olup olmadığını belirleyin.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

Benim denemem:

Alan için $[0,\infty]$. İzin Vermek$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

Sonra $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Fakat, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Sonra $f(x)=x²$ etki alanında tekdüze sürekli değildir $[0,\infty]$

Alan için $[0,1]$. İzin Vermek$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

Sonra $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Fakat, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Sonra $f(x)=x²$ etki alanında tekdüze sürekli değildir $[0,1]$

Yöntemimin doğru olup olmadığından emin değilim. Herhangi bir öneri harika olur!

Answer 1

Fonksiyonun düzgün bir şekilde sürekli olduğunu görmenin başka bir yolu $[0,1]$ Heine teoremini kullanmadan tekdüze süreklilik tanımının karşılandığını kanıtlamaktır.

Doğrusu bırak $\varepsilon > 0$. İzin Vermek$\eta = \varepsilon/2$. Hepsi için$x,y \in [0,1]$ öyle ki $|x-y|<\eta$, var $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

Yani tanım tatmin oldu.

Answer 2

Etki alanı için yönteminiz $[0,\infty)$doğru ve sonucun da doğru. Ama alan için$[0,1]$senin seçtiğinden beri işe yaramıyor $x_n,y_n$etki alanında değil. Bunun yerine, kompakt etki alanlarındaki sürekli işlevlerin düzgün bir şekilde sürekli olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz.

Answer 3

Kesinlikle tekdüze olarak süreklidir $[0,1]$. Genel olarak, sürekli bir fonksiyon kompakt bir sette her zaman tek tip olarak sürekli olacaktır (@Bungo'nun yorumlarda işaret ettiği gibi).

Yorumlarda soruyu ele almak için:

Örneğin, herhangi biri için $\varepsilon$, eğer sadece alırsak $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, sahibiz $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

Not: @TheSilverDoe'nun cevabı çok daha temiz, bu yüzden bunu kontrol ederim :)