Belirli değerleri hakkında bir veritabanı var mı? $j$-değişmeyen mi?
Tüm bilinen belirli değerlere sahip bir veritabanı var mı? $j$-değişmeyen mi?
Yanıtlar
"Bilinen" ile neyi kastediyorsunuz? Herhangi$\tau\in\mathbb C$ ile $\text{Im}(\tau)>0$hesaplanabilir $j(\tau)$bir bilgisayarın izin verdiği kadar hassas olabilir, ama muhtemelen bunu kastetmiyorsunuz. Genel olarak, eğer$\tau$ cebirseldir ve $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, sonra $j(\tau)$ aşkın $\mathbb Q$, bu nedenle değeri "bilmenin" neyin oluştuğunu açıklamanız gerekir. Ne zaman$\tau$ ikinci dereceden bitti $\mathbb Q$, ilişkili ellitik eğri CM'ye sahiptir ve $j(\tau)$ Hilbert sınıf alanını üretir $\mathbb Q(\tau)$. Bu durumda, kişi prensip olarak alanı belirleyebilir ve sonra yazabilir$j(\tau)$bu alan için bir temel açısından. Demek istediğin bu mu? Eğer öyleyse, eminim ki yıllar içinde birçok örnek üzerinde çalışılmıştır, ancak bunların derlendiği bir yerin farkında değilim. Muhtemelen küçük sınıf numaralı tüm hayali ikinci dereceden alanlar için yapılmış olsalar da. Örnek bir hesaplama var$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$Eliptik Eğrilerin Aritmetiği kitabımdaki Gelişmiş Konular kitabımda (Örnek II.6.2.2)$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (Alan $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ sınıf numarası 2'dir ve Hilbert sınıfı alanı $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
CM ile eliptik eğrilerin j-değişmezleri için açık ifadeler içeren herhangi bir (sonlu) veritabanı, izojen eliptik eğrilerin j-değişmezleri eklenerek genişletilebilir. Eliptik bir eğri verildiğinde$E$ Weierstrass formunda ve sonlu bir alt grupta $F$Bunun, Velu klasik bir kağıt için açık denklemleri sağlar$E':=E/F$ ve izojen $E\rightarrow E'$. Şimdi üzerinde çalıştığımızı varsayalım$\Bbb{C}$ ve bunu biliyoruz $E$ izomorfiktir $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$bu nedenle özel değerin bilgisi $j(\tau)$. $j$-değişken $E'$, denklemi kullanılarak açıkça hesaplanabilen, daha sonra başka bir özel değer verir $j(\tau')$ modüler $j$-fonksiyon nerede $\tau'$ bir dönem $E'$. Alternatif olarak, hedef eğriden başlayabilir ve$j$- üstündeki eliptik eğrinin değişkeni. Bunu yapmak için bir Legendre formu varsayalım$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ CM eliptik eğri için $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ sağlanır ($\lambda$cebirsel bir sayıdır). Başka bir deyişle, elimizde olduğunu varsayalım$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$veritabanımızda. İzojenliği düşünün$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Olası Legendre formlarını analiz ederek$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$biri gösterebilir $j$değişken $j(2\tau)$ ait olmak $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Yani üç aday var $j(2\tau)$, her biri açık bir cebirsel sayı biçimindedir. Yaklaşık$j(2\tau)$ sayısal olarak $q$-genişleme, kişi için doğru ifadeyi seçebilir $j(2\tau)$aralarında ve veritabanına ekleyin. Bilgi işlem için bu yaklaşımın ayrıntıları$j(2\tau)$ açısından $j(\tau)$bulunabilir Bu yazıda . Aşağıdakiler için benzer bir yöntem mevcuttur:$j(3\tau)$. Öyleyse örneğin başlayarak$j(i)=1728$, herhangi iki pozitif tam sayı için $m$ ve $n$için tam bir ifade $j\left(2^m3^ni\right)$elde edilebilir. Örneğin$j(2i)=66^3$ ve $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.