Bir grubun koşulu nedir $G$ iki normal alt grubun ürününe eşit olmak

Question

Eğer $G$ bir grup ve $N,M$iki normal alt gruptur. Biliyoruz ki ürün$NM$ normal bir alt gruptur $G$ama bunu ne zaman söyleyebilirim $G=NM$. Koşullar ne olmalı$N,M$?

Answer 1

Bu örneklerde bahsedilen tüm grupların sonlu olduğunu varsayarsak.
Bir örnek: if$|G:M|$ ve $|G:N|$Hangi aralarında asal sonra,$G=NM$. Kanıt:$|G:NM| \mid |G:M|$ ve $|G:NM| \mid |G:N|$.
Başka bir örnek: if$|M|$ ve $|N|$Hangi aralarında asal ve$|G|=|N| \cdot |M|$, sonra $G=NM$.
Yine başka bir örnek: if$M$isimli bir maksimal alt grubu ve$N \not \subseteq M$, sonra $G=NM$.

Sonlu grupların (sıradan) karakter teorisine aşina iseniz :$\varphi$ bir karakterdir $M$ ve indüksiyon-kısıtlama $(\varphi^G)_N$ indirgenemez, o zaman $G=NM$.

Answer 2

Yoğun olarak incelenen daha genel bir soru var, yani bunu ne zaman söyleyebiliriz? $G=AB$ alt gruplar için $A,B$? Bu tür gruplar$G$çarpanlara ayrılabilir olarak adlandırılır ve bunlar hakkında geniş bir literatür vardır.

Bazı önemsiz koşullar vardır, örneğin, $AB$ alt grubudur $G$ ancak ve ancak $AB=BA$, görmek

İzin Vermek $A,B$ bir grubun alt grupları olmak $G$. Kanıtlamak$AB$ alt grubudur $G$ ancak ve ancak $AB=BA$

Çarpanlara ayrılabilir gruplar üzerine referanslar: örneğin Arad ve Amberg, B. Franciosi, S. ve Degiovanni ve diğerleri, ayrıca Gorenstein, Herstein'ın kağıtları .

Daha fazla referans için bu MO gönderisine de bakın .