Bir kombinatorik problemi ve olasılık yorumu
Gauss vektör değişkeni için $w\sim N(0,I_{n\times n})$kare norm anları $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.
Isserlis'in teoremine dayanarak ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ olarak da değerlendirilebilir $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ nerede $\mathcal{P}([r])$ setteki tüm bölümler anlamına gelir $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ bir bölümdür, $p$ bir bölümdeki bir bloktur, $|\pi|$ ve $|p|$ bir bloktaki blok sayısı ve eleman sayısıdır.
Şimdi yukarıdaki problemin bir çeşidini düşünün. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ Yukarıdaki formül sadece bir faktör ile gauss vektör değişkeninin kare normunun momentlerinden farklıdır. $\frac{1}{2}$. Yukarıdaki formül için benzer bir sonlu çarpım çözümü ve olasılık yorumu var mı?
Yanıtlar
Düzelt $n$. İzin Vermek$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ İzin Vermek $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Bileşimsel Formüle göre ( Numaralandırmalı Kombinatorik Teorem 5.1.4 , cilt 2), istediğiniz sayı$r!$ katsayısının katı $x^r$ içinde $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Bunu binom teoremi ile genişletebilir ve ardından her terimi bir kuvvet serisine genişletebilir ve sayınız için toplam olarak bir formül elde edebilirsiniz. $n$ şartlar.