Brown hareketinin [a, -b] kanalından çıkması için beklenen durma süresi

Question

İzin Vermek $W(t)$Standart Brown hareketi olabilir. İzin Vermek$\tau$ ilk kez ol $W(t)$ her iki seviyeye de vurur "$a$"veya seviye"$-b$". Hesaplamanın en basit yolu nedir?$\mathbb{E}[\tau]$?

Olasılığı gösterebiliyorum $W(t)$ hit seviyesi "$a$" önce "$-b$"ve tam tersi, ancak durma süresinin beklentisini kolayca hesaplayamıyorum $\tau$.

Olasılığı göstermek için $W(t)$ hits "$a$" önce "$b$"Sanırım $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$Doob'un isteğe bağlı durdurma teoremine göre, $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(yani durdurulan süreç bir martingaldır). Sonra:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

Tanımına göre $\tau$bizde var $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, Böylece:

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

İçin çözme $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ verir: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

Soru 1 : Bunu nasıl kolayca gösterebilirim$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$Doob'un isteğe bağlı durdurma teoremini gerçekten kullanabileceğimi doğrulayabilmem için?

Soru 2 : Nasıl hesaplayabilirim$\mathbb{E}[\tau]$ mümkün olan en basit şekilde?

Answer 1

Muhtemelen biliyorsunuz (ve değilse, kolayca kontrol edebilirsiniz) sürecin $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ bir martingal.

Şimdi düşünün $n \in \mathbb{N}$(sınırlı) durma süreleri $$T_{n}=T \wedge n$$

İsteğe Bağlı Durdurma Teoremini uygulayın $T_{n}$ not etmek $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ ve $T_{n} \le n$

Elde etmek için monoton yakınsama teoremini kullanın $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

Şimdi sonuçlandırmak için hakim yakınsamayı kullanın $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

zaten biliyorsun.

Bu sana verir $E[T]$.