Bu ODE'ye yönelik bu ikinci çözüm doğru mu?

Dec 25 2020

Windows 10'da Mathematica V 12.2. Bu ODE için çözümümü kontrol etmek için Mathematica kullanıyordum. Mathematica 2 çözüm verir. İkinci çözümün nereden geldiğine dair bir fikriniz var mı? ve doğru mu?

İşte benim çözümüm ve Mathematica'nın çözümü

ClearAll[y, x];
ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y, x]

 (* {{y->Function[{x},-2 Sin[x]+Sin[x]^2]},{y->Function[{x},2 Sin[x]+Sin[x]^2]}} *)

Yalnızca ikinci çözüm doğrular. Ve ben de bunu elde ettim. Soru, Mathematica yukarıdaki ilkini nasıl elde etti?

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[1]])]
  (* Cos[x] Sin[x] == Cos[x] *)

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[2]])]
   (* True *)

Çözümüm: ODE $$ \frac{ \mathop{\mathrm{d}y}}{\mathop{\mathrm{d}x}} = 2 \sqrt{y +1}\, \cos \left(x \right) $$ayrılabilir. Bu nedenle
\begin{align*} \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \int \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \int \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \sqrt{y +1} &= c_{1}+\sin \left(x \right) \end{align*} Başlangıç ​​koşulları artık çözmek için kullanılıyor $c_{1}$. İkame$x=\pi$ ve $y=0$ Yukarıdaki çözümde, entegrasyon sabitini çözmek için bir denklem verir. \begin{align*} \sqrt{1} &= c_{1} \end{align*} Fakat $\sqrt{1}=1$, ana kökü alarak. Bu nedenle\begin{align*} c_1 &= 1 \end{align*} İkame $c_{1}$ Genel çözümde yukarıda bulunan $$ \sqrt{y \left(x \right)+1} = \sin \left(x \right)+1 $$ İçin çözme $y \left(x \right)$ verir \begin{align*} y(x)+1 &= (1+\sin(x))^2 \\ y(x)+1 &= (1+\sin^2(x)+2 \sin(x)) \\ y(x) &= \sin^{2}x +2 \sin(x) \end{align*}

Yukarıdan Mathematica'nın iki çözüm elde etmiş olması gerektiğini görüyorum $c_1$ gibi $\pm 1$ alırken $\sqrt 1$.

Ancak o zaman bu iki çözümü elde edecek. Ne zaman için$c_1 = -1$gösterdiği ilk çözüm ortaya çıkacaktır. Ve ne zaman$c_1= 1$ikinci çözüm ortaya çıkacaktır.

Mathematica'nın ilk çözümü doğru mu? Mathematica sadece bunu elde etmeliydi$c_1 = 1$ ve yok $c_1 = \pm 1$?

Yanıtlar

Vixillator Dec 27 2020 at 09:34
ClearAll[y, x, ode, sol];

(* The given equation ode is a non-linear (quadratic) ODE, which yields two 
   solutions, as expected. Since both solutions satisfy the ODE they are both correct.
   Note that the ODE is equivalent to: y'[x]^2 == 4*(1 + y[x])*Cos[x]^2 *)

ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> -2 Sin[x] + Sin[x]^2}, {y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* In order to obtain a single solution, we need to reduce the ODE to
a quasi-linear ODE, by defining an auxiliary boundary condition, say
at x=0, that will constrain the solution to the one that we seek *)

bcNew = ode /. x -> 0

(* OUT: y'[0] == 2 Sqrt[1 + y[0]] *)

solNew = DSolve[{ode, y[Pi] == 0 && bcNew}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* QED *)