Bunu kanıtlamak $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ birinci sınıf $q$ uzanmak $p$

Question

İzin Vermek $f : A \to B$ünital değişmeli halkalar arasında bir morfizm olabilir. Böylece düşünebiliriz$B$-modüller olarak $A$-bu harita üzerinden modüller ve $A$-modüller olarak $B$ile tensör yoluyla modüller $- \otimes_A B$.

İzin verme $M$ ve $N$ olmak $A$- ve $B$-modüller sırasıyla. Bir asal verildi$q$ nın-nin $B$ ve bir asalın üzerinde uzanmak $p$ içinde $A$, Biz biliyoruz ki $f$ ilgili yerelleştirmeler arasındaki bir haritaya iner ve bu nedenle yukarıdaki gibi benzer bir yazışma, ilgili modülleri için geçerlidir.

Bunu göstermek istiyorum $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ gibi $B_q$-modüller.

Benim gerekçem şu: çünkü

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

ve $N_q$ bir $B_q$-modül, bu bir $A_p$-modül, dolayısıyla $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ ve bu nedenle

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Bu kulağa hoş geliyor ama ben "tensör ürününün farklı halkalara göre çağrışımını" fazla umursamadan kullanıyorum.

Bir akıl sağlığı kontrolü ve / veya bir referans çok takdir edilecektir.

Answer 1

Argümanınız işe yarıyor! Basitçe şunu uyguladınız: eğer$f : A\to B$ halka morfizmidir, $M$ bir hak $A$-modül, $N$ bir $(A,B)$-bimodül ve $L$ bir sol $B$-modül, sonra $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$( buraya bakın ). Bu gerçeği arayalım$(*).$ Bildiğiniz gibi eğer $M$ bir $R$-modül ve $S\subseteq R$ çarpımsal bir kümedir, o zaman $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ bu gerçeği ara $(**).$ O zaman argümanınız aşağıdaki hesaplamadır: \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}