Bunu nasıl gösteririm $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ üst sınırlı mı?

Question

Özyinelemeli ilişki tarafından verilen dizinin kanıtlamaya çalışıyorum $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ yakınsak $a_1 = 1$.

Tümevarımı kullanarak dizinin katı bir şekilde arttığını kanıtlamayı başardım .

Bunu belirten teoremi kullanıyorum

Bir dizi monoton ve sınırlı ise yakınsaktır.

Bu nedenle, şimdi bir üst sınır olduğunu kanıtlamalıyım

---

Benim girişim

İndüksiyonu tekrar kullanacağım.

• İçin $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
• İçin $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
• İçin $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $

Bunu gösterdim $a_{k+1}$ daha az mı $M^2$ oysa indüksiyon adımında şunu belirttim: $a_{k+1}$ daha az $M$. Kare biraz kafamı karıştırıyor ve burada gerçekten de sınır olup olmadığımı bilmiyorum, bu yüzden bu soruyu soruyorum

Answer 1

Bunu not et $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. O zaman yapabilirsin$M=\frac{M^2}{4}-3$ gerçekten veren $M=6$ çözüm olarak.

Answer 2

Bu tür sorunlara yaklaşmanın yolu genellikle aşağıdaki gibidir.

Dizinin birleştiğini zaten kanıtladığınızı hayal edin ... $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Ne olduğunu bulmakla ilgilenmez misin$a$? Bunu yapmanın yolu: denklemde$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ sol ve sağ tarafın sınırlarını hesapladığınızda $n\to\infty$. Sen alırsın:

$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$

yani $a=\sqrt{12+4a}$ Hangi ima $a=6$.

Öyleyse kanıtladığınız şey, eğer $a_n$ yakınsarsa, yakınsaması gerekir $6$ve başka numara yok. Ayrıca birleştiğini de biliyorsunuz (öyle olmasaydı bunu kanıtlamanız istenmeyecekti!) Bu yüzden monoton bir şekilde arttığını bilerek, hemen görürsünüz$a_n\lt 6$, yaklaşıyor $6$ "aşağıdan" ve aslında $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.

Bu nedenle, belki şu ana kadar söylediklerimizi unutmaya çalışmak ve bunu kanıtlamak işe yarayabilir.$a_n\lt 6$, bu hemen dizinizin monoton bir şekilde arttığı ve sınırlı olduğu anlamına gelir - dolayısıyla yakınsak.

Ve gerçekten (tümevarımla kanıt), $a_1=5\lt 6$ ve eğer $a_n\lt 6$, sonra $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.

Answer 3

İpucu: tümevarımla kanıtlayın $a_n \leq 6$ hepsi için $n$.