Değerlendirme $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$
Değerlendirmek $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$
Ayarlamak $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$
Böylece integral olur $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$
Ayarlamak $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, yani $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ ve $v=r$
$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$
Ama doğru cevap $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$
Biri bana hatamın nerede olduğunu ve sorunu yapmanın daha iyi bir yolunu gösterebilir mi? Teşekkürler!
Yanıtlar
Hata yok. $C$ keyfi bir sabittir ve $-\frac 3 2+C$ sadece başka bir sabit $C'$. Ve bu soruyu cevaplamanın daha iyi bir yolu yok.
Alternatif yöntem
Düşünmek, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Yeniden düzenleme, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Yani her iki tarafı birleştirerek cevabı alabilirsin
Bir sabit artı başka bir sabit farklı bir sabitle temsil edilebildiğinden çözümünüz doğrudur, bu nedenle $-\frac{3}{2}+C=C_1$.
Alternatif olarak, parçalara göre entegre edebilir ve $u=\ln(2x+3)$ ve $dv=dx$. Sonra$du=\frac{2}{2x+3}$ ve alabiliriz $v=x+\frac{3}{2}$. Bunu takip eder\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} beklenildiği gibi!