Değişmeli grupların bölümleri - artık sonluluk ve düzen unsurları $p$

Aug 18 2020

Varsayalım $A$ değişmeli bir gruptur ve $\pi$asal sayılar kümesidir. Bir$\pi$-sayı, aşağıdaki asal sayıların bir ürünüdür $\pi$.

Her biri için varsayalım $p \in \pi$, $A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ sonlu üslüdür.

Ayrıca varsayalım ki $A$ dır-dir $\pi$azaltılmış; önemsiz olmayan alt grupları yok$A$ hangileri $\pi$bölünebilir. Yani, herhangi biri için$H \leq A$ var $h \in H$ ve $m$ a $\pi$-sayı öyle ki herhangi biri için $x \in H$, $x^m \neq h$.

İzin Vermek $j \in \mathbb{N}$, $p \in \pi$ ve $m = p^jn$ a $\pi$- sayı nerede $n$ nispeten asaldır $p$.

  1. neden ki $A/A^m$ artık sonlu?

  2. neden yapar $A^{p^j}/A^m$ düzen unsuru yok $p$?

Sonsuz Çözünür Gruplardan gelen bağlam:

Yanıtlar

1 EricWofsey Aug 19 2020 at 05:05

$A/A^m$ sonlu üslerin değişmeli bir grubudur (özellikle, üslü bölünme $m$) ve sonlu üslerin her değişmeli grubu, çevrimsel grupların doğrudan bir toplamıdır ve özellikle artık sonludur. Örneğin, tüm elemanların 1, 2 veya 4 sırasına sahip olduğu sonsuz değişmeli gruptaki cevaplara bakın .

Her elementten beri $a\in A/A^m$ tatmin eder $a^m=1$, her $p^j$inci güç $a^{p^j}$ tatmin eder $(a^{p^j})^n=1$. Böylece sırası$a^{p^j}$ böler $n$ve bu yüzden olamaz $p$. Yani,$A^{p^j}/A^m$ düzen unsurları yok $p$.