Derece homomorfizminin sürekliliği

Question

Aşağıdaki soru ve tartışma ile ilgili olarak:

Homomorfizm derecesi $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ örten?

Katılıyoruz eğer $X$cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde bir eğridir , cevap evettir ve her zaman başka türlü değildir. Bu durumda cevap nedir$X$ayrılabilir bir kapalı alan üzerinde bir eğri mi?

Bu homomorfizmin kapsayıcı olması için yeterli bir koşul mudur?

Answer 1

"Eğri" yi "geometrik olarak indirgenmiş" anlamında aldığınızı varsayarsak, cevap evettir. Her geometrik olarak küçültülmüş$k$-sonlu tip şeması bir $k^s$Liu'nun Cebirsel Geometri ve Aritmetik Eğrilerinin 3.2.20 önerisiyle nokta (ispat fikri, geometrik olarak indirgenmiş ortalamaların$k(X)/k$ayrılabilir ve bu tür davranışların lokusu, bir alan üzerinde sonlu tip şemalar için açıktır). Bu, eğri tanımınızın bir parçası olarak geometrik olarak küçültüldüğünüzü varsayarak iddianızı kanıtlar:$k^s$ nokta.

Yukarıdaki ifadeyle ilgili ayrıntılar için Stacks 04QM'ye de başvurabilirsiniz .