Diferansiyel bir denklemi sağlayan iki kez türevlenebilir fonksiyon

Question

Soru :

İzin Vermek $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tatmin edici iki kez türevlenebilir fonksiyon

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ nerede $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$(1)$ Eğer $f(0)=f'(0)=1$ , sonra $f(3)\lt 3$

$(2)$ Eğer $f(0)=f'(0)=2$ , sonra $f(4)\lt 4$

$(3)$ Eğer $f(0)=f'(0)=3$ , sonra $f(3)=5$

$(4)$ Eğer $f(0)=f'(0)=3$ , sonra $f(3)=6$

Düşüncelerim:-

İlk önce tartışacağım $(3)$ ve $(4)$

İzin Vermek $g(x)=0$

Sonra biraz hesaplama ile şunu gösterebiliriz:

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ atmak için uygun bir aday olarak $(3)$ ve $(4)$

Burada seçenek için $(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

Her iki tarafın karesini alırken

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$bir çelişki

benzer şekilde $f(3)= 6$ çelişki verecek

$\sin 3+\cos 3=2$ (ima eden $\sin 3=\cos 3=1$ ki bu imkansızdır).

Böylece biz kaldık $(1)$ ve $(2)$

Not: Yukarıdaki örneğin hafif bir varyantı aşağıdaki koşulu karşılar: $(1)$ ve $(2)$

Gibi basit örneklerle denedim $g(x)=1 $ ve $f(x)=x$ ya da kuadratik gibi ama sonuca varamadı.

Lütfen seçenekler konusunda yardım edin $(1)$ ve $(2)$. Zaman ayırdığınız için teşekkürler.

Answer 1

Enerji işlevini düşünün $E=f(x)^2+f'(x)^2$. Sonra$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ Böylece $E$çözümlere düşüyor. Görebildiğim kadarıyla bu, 1) ve 2) 'nin doğru olduğunu ima ediyor.

1) $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ ve benzer şekilde 2) $f(x)\le\sqrt8<4$. Aynı şekilde 3) ve 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, böylece verilen değerlere asla ulaşılamaz.