Dır-dir $x$ rasyonel fonksiyonlar alanı üzerinde bir cebirsel eleman $K(x)^p$?
Soru şu ki $x \in K(x)$ alan üzerinde bir cebirsel eleman $K(x)^p$?
Düzenle: Let $K$ karakterli bir alan ol ($K)=p>0$ ve izin ver $K(x)$ rasyonel işlevlerin alanı olmak $K$.
Benim girişimim: Temelde şunlara atıfta bulunarak buna cevap vermeye çalıştım:
Alan $K (x)$ rasyonel fonksiyonların üzerinde $K$element $x$ yok $p$inci kök.
Aksine varsayalım ki $x$ cebirsel bitti $K(x)^p$, ve bu yüzden $x$ bazılarının kökü $p$- derece polinom, öyle ki; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$
$f(x)^p=g(x)^p * x$
Burada, derecelerinden beri çelişkiyi görüyoruz $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ ve $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.
Bu konuda tamamen kayboldum, Beachy'nin Abstract Algebra'nın 4. baskısını kullanıyorum ve rasyonel alanlardan neredeyse hiç bahsedilmiyor. Rasyonel alanlar hakkında daha fazla bilgi edinebileceğim kaynaklarla ilgili herhangi bir ipucu ve belki öneriler çok takdir edilecektir, teşekkürler!
Yanıtlar
$x$ aslında cebirseldir $K(x)^p$ (soruya yapılan yorumları not edin, sadece buna ihtiyacımız var $x^p\in K(x)^p$. Hangi halkada sahip olan polinomları bulmaya çalıştığımızın kafa karıştırıcı olabileceğini düşünüyorum.$x$bir kök olarak. Bu temsili sorunu aşmak için arayalım$F:=K(x)^p$.
Şimdi $x$ cebirsel bitti $F$ biraz polinom varsa $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$. Polinomu inceleyelim$g=Y^p-x^p$. Biz biliyoruz ki$x^p\in F$, yani $g\in F[Y]$. Açıkça ayrıca$g(x)=x^p-x^p=0$, yani $x$ cebirsel bitti $F$.
Boyunca bunu kastettiğini varsayıyorum $K$ karakteristik olması $p>0$. Belki de böyle bir ihtimal sizi şaşırttı$K$ mükemmel değil, bu durumda $\bigl(K(x)\bigr)^p$ farklı $K(x^p)$. Yine de endişelenmeyin: bizim amaçlarımız için önemli değil.
Alan alanınızı düşünelim $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$içinde bir elementin olduğu $x^p$. Bu elementi arayacağım$t$. Bir alan izomorfizmi olduğunu not ediyoruz$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, tarafından $\varphi(f)=f^p$. Ve elementin görüntüsü$x$ nın-nin $K(x)$ dır-dir $t\in\mathscr L$; tıpkı$x$ yok $p$-th kök $K(x)$, yani $t$ yok $p$-th kök $\mathscr L$. Böylece$\mathscr L$-polinom $X^p-t$ indirgenemez ($\dagger$). Kök yedeklemesi var$K(x)$yine de, yani $x$. Ve işte buradasın.
($\dagger$) Bir alanda bunu kullandım $k$ karakteristik $p$, $X^p-b$ ya kök var $k$ veya $k$-indirgenemez.