Eğer $r>0$ ve $r\notin \mathbb{N}$, değerlendirmek için basit bir yöntem var mı $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$

Dec 13 2020

İzin Vermek $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Ampirik olarak aşağıdaki ilişkiyi fark ettim:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$özellikle, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Unutmayın ki$r$ bir tamsayıdır, sonlu toplam iyi tanımlanmamış olsa da $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$yani bu anlamda toplam 'iptal' olur. Mathematica, kapalı biçimini döndürür$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$Hangi zaman $r\in\mathbb{N}$bu soruya indirgeniyor , ama bunu kendim nasıl çıkaracağımı bilmiyorum. Belki oradaki cevapları tam olarak anlamıyorum ama toplam teleskop olmadığında aynı numaraların geçerli olduğunu düşünmüyorum. Özetle, sorularım:

  1. Biri kapalı formu açıklayabilir mi?
  2. Sonlu toplamın sonsuz toplamın negatifi olmasının basit, kavramsal bir nedeni var mı?

Yanıtlar

2 CarlSchildkraut Dec 13 2020 at 08:31

İşte toplam tutarın hesaplanması $n=0$ -e $\infty$, bu sonlu toplamı hesaplamanın bir yolunu açabilir. Dan beri$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ nerede $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, sahibiz $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ özellikle, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Bu yüzden değerlendirmek istiyoruz $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Düşünmek $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Sahibiz $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ Ayrıca, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ ve böylece kimliğimiz var $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ her ne zaman $r>1$.