Gama ve Beta işlev kanıtı
Beta fonksiyonu entegrali ile tanımlanır$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Değerlendirerek $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ iki farklı şekilde göster $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$
gama fonksiyonu ile beta fonksiyonu arasındaki ilişkiye dair bir kanıtım var, ancak ilk kez değiştirdikten ve integralleri değiştirdikten sonra fonksiyon neden $x^{\alpha+\beta-1}$ taradıktan sonra $x^{\alpha-1}$ ve $x^{\beta-1}$ olmamalı $x^{\alpha+\beta-2}$?
$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$
Yanıtlar
Hayati çizgiyi daha detaylı inceleyelim. İkame$y=tx$ verir $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Gördüğünüz gibi bizde $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ nereden ek $-1$kaybolur. Bu kadar.
Karmaşık integraller yerine bir hikaye kullanarak yapmanın daha kolay olduğunu düşünüyorum. İki Gama dağılımını hayal edin$X \sim Gamma(a, \lambda)$ ve $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.
Bu ikisini kullanarak eklemi hesaplayın $f_{T,W}(t,w)$ dağılımı:
$T = X + Y$ ve $W = \frac{X}{X+Y}$.
Hikaye olarak, bir bankada çalışan ve her ikisi de aynı oranda çalışan iki memur hayal edin. $\lambda$. T, her iki katip ile uğraşmak zorunda olan bir kişi için toplam bekleme süresidir, W ise, kişinin ilk katip için beklediği kısımdır.
Ortak dağıtımdan, bunun iki bağımsız dağıtımın ürünü olduğu açık olacaktır, biri $Beta$. Bunu hatırlamak da çok daha kolay.