Gerçek bir diferansiyel formun bir özelliğini kanıtlamak ve onu entegre etmek
Aşağıdaki alıştırmayı çözmeye çalıştım, ancak çözümümün doğru olup olmadığından emin değilim ve mümkünse alıştırma hakkında bazı arka plan bilgileri almak istiyorum.
Egzersiz: Let$$\omega = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n$$ farklı olmak $(n-1)$-form üzerinde $\mathbb{R}^n$. Şapka gösteriminin, formun${\rm d}x_i$ kama ürününden düşürülür. $i$-inci zirve.
a) Göster onu${\rm d}\omega = n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n$.
b) Bırak$n = 3$. Hesaplamak$${\rm d}\omega\left(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \right)$$
c) Hesapla $\int_{[0,1]^n} {\rm d}\omega$.
Benim çözümüm: a) İddiayı tümevarım yoluyla kanıtlamaya çalıştım. İçin$n = 2$ sahibiz $\omega = x_1{\rm d}x_2 - x_2{\rm d}x_1$ ve böylece $${\rm d}\omega = {\rm d}(x_1)\wedge {\rm d}x_2 - {\rm d}(x_2)\wedge {\rm d}x_1 = {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2 + {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2 = 2 {\rm d}x_1 \wedge {\rm d}x_2.$$ ikinci eşitliğin değişmezlikten kaynaklandığı $\wedge$. Şimdi indüksiyon adımı için elimizde\begin{align*} {\rm d} \omega &= {\rm d}\left( \sum_{i = 1}^{n+1} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n+1}\right)\\ &= {\rm d}\left(\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n+1} + (-1)^n x_{n+1} \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right)\\ &= {\rm d}\left(\left[\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i-1} x_i \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge \widehat{{\rm d}x_i} \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right]\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^n x_{n+1} \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\right)\\ \end{align*} son satırda nerede çarpanını ayırdım ${\rm d}x_{n+1}$toplamın her birinde olduğu gibi. Şimdi, gösterimi biraz düzeltmek için, toplamın şu şekilde gösterilmesine izin verin:$\omega_n$. Sonra doğrusallık ve ürün kuralı ile${\rm d}$ sahibiz \begin{align*} {\rm d} \omega = {\rm d}(\omega_n)\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{n-1}\omega_n{\rm d}^2x_{n+1} + (-1)^{n}{\rm d}x_{n+1} \wedge {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n} \end{align*} Şimdi, tümevarım hipotezini ilk terimde kullanabiliriz, ikinci terim sıfıra eşittir, çünkü ${\rm d}^2x_i = 0$. Yani\begin{align*} {\rm d} \omega &= n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_n\wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{n}{\rm d}x_{n+1} \wedge {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge {\rm d}x_{n}\\ &= n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1} + (-1)^{2n}{\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1}\\ &= (n+1)\cdot{\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n+1}. \end{align*} nerede kullandım $\wedge$-anticommutativite $n$ alınacak zamanlar ${\rm d}x_{n+1}$doğru konuma.
b) Bu bölümde notasyon beni biraz karıştırıyor. Açıkçası${\rm d}\omega$ bir $3$-farklı form ve bu nedenle şöyle bir şey bekliyorum ${\rm d}\omega(x)(v_1,v_2,v_3)$ nerede $x, v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}^3$. Sanırım ilk argüman düştüğünü gösterdiğimiz için${\rm d}\omega$ sabit bir değişken verir $3$sabit form $n$. İki giriş eşit olduğundan ve${\rm d}\omega$ o zaman almalıyız ${\rm d}\omega(v_1, v_2, v_1) = 0$.
c) Konu diferansiyel formları entegre etmeye gelince hala biraz kafam karıştı, ancak bunun işe yarayacağını düşünüyorum:$$\int_{[0,1]^n} {\rm d}\omega = \int_{[0,1]^n} n \cdot {\rm d}x_1 \wedge \dots \wedge{\rm d}x_{n} = n \cdot \int_{[0,1]^n} {\rm d}\lambda^n(x) = n \cdot \lambda^n([0,1]^n) = n.$$ Buraya $\lambda^n$ göstermesi gerekiyordu $n$-dim Lebesgue ölçümü $\mathbb{R}^n$.
Ek sorular : Verilen farklı form mu$\omega$belirli bir kullanımı veya anlamı var mı? B) bölümünde kaçırdığım daha kısa bir çözüm var mı? Teşekkürler!
Yanıtlar
Bölüm (a) çok daha hızlı bir çözüme sahiptir, tümevarıma hiç gerek yoktur. Olası tanımlarından biri$d$ ilk yazmak $\omega = \sum_I a_I dx^I$, nerede $I$ aradaki sayıların enjekte edilmiş demetidir $1$ ve $n$, $a_I = a_{i_1 \dots i_k}$ ve $dx_I:= dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$sonra tanımlarız $d\omega := \sum_I (da_I)\wedge dx_I$. Yani, senin durumunda,\begin{align} d\omega &:= \sum_{i=1}^nd((-1)^{i-1}x_i) \wedge dx_1 \wedge\cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots dx_n \\ &= \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}dx_i \wedge dx_1 \wedge\cdots \wedge \widehat{dx_i}\wedge \cdots dx_n \\ &= \sum_{i=1}^n dx_1 \wedge \cdots\wedge dx_n \\ &= n \cdot dx_1 \cdots \wedge \wedge dx_n \end{align} (biraz pratikle bu hesaplama, $(a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3$)
Bölüm (b) için, evet, yazılanlar teknik olarak gösterimin kötüye kullanılmasıdır, çünkü $d\omega$ diferansiyel olmak $n$-bir manifold üzerinde form $M$ ilk önce bir noktayı takmanız gerektiği anlamına gelir $p\in M$, almak $d\omega(p)$ve sonra teğet vektörler verildi $\xi_1, \dots, \xi_n \in T_pM$, bir numara almak için bunları takabilirsiniz $d\omega(p)[\xi_1, \dots, \xi_n] \in \Bbb{R}$. Ancak, diferansiyel formların değişen doğası nedeniyle çözümünüz doğru (sanırım alabileceği kadar kısa).
Bölüm (c) doğrudur.
Kullanımlarına gelince $\omega$Aklıma gelen tek şey, izin verirsen $\iota:S^{n-1}\to \Bbb{R}^n$ dahil etme eşlemesi, ardından geri çekme $\iota^*\omega$ birim küre üzerindeki hacim biçimidir $S^{n-1}$. Örneğin, eğer$n=2$, bu $\omega = x dy - y dx$iken $n=3$ bu olur \begin{align} \omega &= x\, dy \wedge dz - y\, dx \wedge dz + z\, dx\wedge dy \\ &= x\, dy \wedge dz + y\, dz \wedge dx + z\, dx\wedge dy \end{align} Daha genel olarak bir $m$boyutlu yönelimli manifold $M$ hacim formu ile $\mu$, ve bir $m-1$boyutlu gömülü altmanifold $N\subset M$ (yani bir hiper yüzey), birimi dışa doğru normal vektör alanıyla $\nu$sonra alarak (geri çekilme $N$ of) iç ürün $\iota_{\nu}\mu$, hacim formunu al $N$.
Daha yaygın gösterimde (ve gösterimden geri dönüşü bastırarak), bunu şu şekilde yazıyoruz: $d^{n-1}V = \iota_{\nu}(d^nV) \equiv \nu \lrcorner d^nV$veya olması durumunda $n=3$bunu şu şekilde yazıyoruz $dA = \nu \lrcorner dV$.
Belirli bir kullanımı bilmiyorum $\omega$. Sadece (a) kısmının tutması için inşa edilmiş gibi görünüyor. (B) ve (c) bölümleri için çözümlerinizin doğru ve iyi olduğunu düşünüyorum. Muhtemelen tümevarım için (a) bölümünü yaptığınız gibi yapabilirsiniz, ama sanırım sadece formülü kullandıysanız$${\rm d} \left(\alpha_I {\rm d}x^I\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \alpha_I}{\partial x^i} {\rm d}x^i\wedge {\rm d}x^I$$ doğrudan takip eder.