Her unsuru $\mathbb{R}$ üyesi $\mathbb{Q}$ aşkınlık temelinin sonlu sayıda üyesiyle birleşti mi?

Dec 25 2020

Son zamanlarda, bir aşkınlık temeli kavramını kullanarak sorunlara bir şekilde yapıcı olmayan çözümler üretmekle ilgileniyorum .$\mathbb{R}$ bitmiş $\mathbb{Q}$, Seçim Aksiyomu varsayıldığında var olan ancak sadece bazı temel Alan Teorisini biliyorum. Artan anlayışımın bir parçası olarak soruyorum:

İzin Vermek $W$ aşkınlık temeli olmak $\mathbb{R}$ bitmiş $\mathbb{Q}$. Bu doğru mu$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? Ya "sonlu" yu "sayılabilir" ile değiştirirsek?

Yanıtlar

5 AndreasCaranti Dec 25 2020 at 04:56

Belki bir şeyi kaçırıyorum, ancak örneğin bu MSE gönderisinden alıntı yaparak :

bir set $T$ bir uzantı alanının öğelerinin $k/F$bir aşkınlık temelidir eğer

  1. hepsi için $n$ve farklı $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$sıfır olmayan polinom yok $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ öyle ki $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
  2. $k$ cebirsel bitti $F(T)$.

Yani şöyle bir unsur $\sqrt{2}$ hiçbirinde olmayacak $\mathbb{Q}(w)$.

1 EthanBolker Dec 25 2020 at 04:44

Düzenleyin . Bu cevap yanlış. "Aşkınlık temeli" ni "vektör uzayı temeli" olarak okudum. @AndreasCaranti'nin cevabının doğru olduğunu düşünüyorum. Benimkini bırakacağım ki kimse aynı hatayı yapmasın.


Evet, çünkü her unsuru $\mathbb{R}$ sonlu $\mathbb{Q}$-temel elemanların doğrusal kombinasyonu. Bu, ilgili uzantıların birliğinde olduğu anlamına gelir.