Herhangi bir kesintisiz harita, sonlu sayıda noktada sabit değerler varsayan birine homotopiktir

Question

İzin Vermek $X$ ve $Y$topolojik uzaylar olabilir. Varsaymak$X$yerel olarak daraltılabilir ve yoğun sonlu alt kümeye sahip değildir. Varsaymak$Y$ yola bağlı.

Verilen $n$ nokta çifti $(x_i, y_i)$ nerede $x_i\in X$ ve $y_i\in Y$ için $1\leq i\leq n$ ve kesintisiz bir harita $f:X\to Y$ kesintisiz bir harita bulabilir miyiz $g:X\to Y$ homotopik $f$ öyle ki $g(x_i)=y_i$?

Answer 1

İzin Vermek $X$ iki katına çıkan gerçek çizgi olmak ve $Y$ olmak $\Bbb R$ve izin ver $f$ iki kökeni çöken projeksiyon haritası olun $0^+$ ve $0^-$ -e $0$. Sonra herhangi bir harita$g: X \to Y$ tatmin eder $g(0^+) = g(0^-)$ Çünkü $\Bbb R$Hausdorff. Bu nedenle,$f$ bu iki noktayı farklı noktalara gönderen herhangi bir haritaya homotopik değildir.

Sorunuz dahil etme ile yakından ilgilidir $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$homotopi uzatma özelliğine sahip. Özellikle, bir mahalle deformasyonunun geri çekilmesinin dahil edilmesi durumunda, bu tür homotopiler var olur. Yukarıdaki örnekte, her noktanın ayrı ayrı daraltılabilir bir mahalleyi vardır, ancak iki köken birlikte onlara geri dönen bir mahalleye sahip değildir.