İçin $\triangle ABC$, olduğunu göstermektedir $ac\cos B+ab\cos C-bc\cos A-a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ-C)}$

Aug 19 2020

Üçgen $\triangle ABC$ tarafları var $a$, $b$, ve $c$ve çevre $R$. Kanıtla$$ac \cos B + ab \cos C - bc \cos A - a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ - C)}$$ Eşitlik ne zaman gerçekleşir?

Bu soruya farklı bir forumda rastladım ve ilginç olduğunu düşündüm. Biraz ilerleme kaydettim ama fazla değil: Değiştim$R^2$eşitsizliğin fraksiyonuna. Sanırım muhtemelen Sines Yasası veya Kosinüs Yasasının başka bir kullanımı var ama bulamıyorum.

Düzenleme: Pek çok insanın sorunun doğru olup olmadığına dair soruları var; işte asıl sorun:

Üçgen $\triangle ABC$ tarafları var $a$, $b$, ve $c$ve çevre $R$. Kanıtla$b^2 + c^2 - a^2 \ge -R^2$ Eşitlik ne zaman gerçekleşir?

Yanıtlar

1 MichaelRozenberg Aug 19 2020 at 00:56

İd est, kosinüs yasasına göre şunu kanıtlamamız gerekiyor: $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}-a^2\leq\frac{c^2}{8\left(\frac{2S}{ab}\right)^2},$$ nerede $S=\frac{1}{4}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$.

Bu nedenle, bunu kanıtlamamız gerekiyor $$b^2+c^2-a^2+\frac{a^2b^2c^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}\geq0.$$ Şimdi izin ver $a=y+z$, $b=x+z$ ve $c=x+y$.

Böylece, $x$, $y$ ve $z$ pozitiftir ve bunu kanıtlamamız gerekir: $$2(x^2+xy+xz-yz)+\frac{\prod\limits_{cyc}(x+y)^2}{16xyz(x+y+z)}$$ veya $$(y^2+34yz+z^2)x^4+2(y^3+35yz+35y^2z^2+z^4)x^3+$$ $$+(y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4)x^2+$$ $$+2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)x+y^2z^2(y+z)^2\geq0.$$ Şimdi izin ver $x^4=t\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}.$

Böylece $$y^2+34yz+z^2\geq36\sqrt[3]{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$2(y^3+35y^2z+35yz^2+z^3)\geq144\sqrt{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4\geq120\sqrt[3]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^2},$$ $$2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)\geq-48\sqrt[6]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^5}$$ ve $$y^2z^2(y+z)^2\geq4\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12},$$ bunu kanıtlamak yeterlidir: $$36t^4+144t^3+120t^2-48t+4\geq0$$ veya $$(3t^2+6t-1)^2\geq0$$ ve bitirdik!

Eşitlik, $t=\frac{2}{\sqrt3}-1$ ve örneğin $y=z=1$hangi verir $x=\frac{2}{\sqrt3}-1$ ve ölçülen açıları olan bir üçgenimiz var $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ ve $120^{\circ}.$

g.kov Aug 19 2020 at 19:45

İkinci sorunun cevabı (eşitlik).

Üçgen $ABC$ tarafları var $a$, $b$, ve $c$karşılık gelen açılar $\alpha,\beta,\gamma$, yarı çevre $\rho$, yarıçap $r$ ve çevre $R$. Kanıtla\begin{align} R^2-a^2+b^2+c^2\ge0\tag{1}\label{1}. \end{align} Eşitlik ne zaman gerçekleşir?

\ Eqref {1} 'i şuna bölerek: $R^2$, sahibiz

\begin{align} 1-4\sin^2\alpha+4\sin^2\beta+4\sin^2\gamma&\ge0 \tag{2}\label{2} . \end{align}

\ Eqref {2} 'in eşitlik sağladığını doğrulamak kolaydır: $\alpha=120^\circ,\beta=\gamma=30^\circ$. Başka bir deyişle, \ eqref {1} bir ikizkenar üçgen için eşitlik haline gelir$\alpha=120^\circ$.