İdeal sınır sınırı $G/U \subset \overline{G/U}$

Question

İzin Vermek $G$ yarı basit bir cebirsel grup olmak, $B \subset G$ bir Borel alt grubudur ve $U \subset B$ unipotent radikalidir $B$. Çeşitliliği düşünebiliriz$G/U$. Şunu da ifade edelim$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Doğal morfizmin olduğu bilinmektedir.$G/U \rightarrow \overline{G/U}$açık bir yerleştirmedir. İzin Vermek$\partial{G/U}$ sınırı olmak $G/U$ içeride $\overline{G/U}$. Şimdi not et$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, toplamın baskın karakterlerden geçtiği yer $\mu$ nın-nin $G$ (bazı maksimal simitleri düzeltiriz $T \subset B$, İşte $V(\mu)$ indirgenemez temsilidir $G$ en yüksek ağırlığa sahip $\mu$).

İddia: ideali $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ tarafından üretilir $V(\mu)$ ile $\mu$düzenli olmak (kesinlikle baskın). Bu iddia nasıl kanıtlanır? Belki herhangi bir referans vardır?

Answer 1

İşte onu sınıflandırarak görmenin bir yolu $G$-değişmeyen radikal idealler. (Bu, sınırı dolaylı olarak tanımladığı bonusa sahiptir.)

Lemma: $G$-değişmeyen idealler $I$ nın-nin $\mathbb{C}[G/U]$ ağırlık setleriyle uyum içindedirler $S$ yani bunun için $\lambda\in S$ ve $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Böyle bir ideal herkes için radikaldir$\lambda\notin S,$ sahibiz $n\lambda\notin S$ for all positive integers $n$.

To see this, note that $G$-invariance tells you that $I$ must split as a sum $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ for some set $S$. Now if $\lambda\in S,$ the multiplication map $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ is surjective and hence $\mu > \lambda$ must also be in $S$.

The statement about radical ideals follows similarly.

From this statement, you can see that the minimal nonzero $G$-invariant radical ideal (which necessarily cuts out the boundary) corresponds to taking $S$ the set of all regular weights.