İki normal çokgenin alan oranı

Question

Aşağıdaki şekildeki çokgenlerin tümü normal çokgenlerdir (düzenli yedigen), bir tepe noktasını paylaşır ve turuncu çizgi iki normal çokgenin üç köşesini keser, küçük düzgün çokgenin alanı ve büyük düzgün çokgen şu şekilde gösterilir: $S_1$, $S_2$, nedir $\frac{S_1}{S_2}$?

Ek soru (normal dokuz kenarlı çokgen)

Answer 1

Hesaplamadan geçmeyecek, ama fikir bu.

İlk beri $\triangle ADE$ ve $\triangle BDF$ benzer, biliyoruz $AE$ geçmek $G$.

Şimdi hesaplayabiliriz $DG$,$GC$,$AG$ sol yedigene göre ve o zamandan beri $AD\parallel CE$ hesaplayabiliriz $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Ayrıca biliyoruz$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

Bu nedenle $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

İzin verirsen $a=DG,b=DA,c=DB$burada bazı kimlik var

Kimliği kullanmak, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

Yeni düzenleme: Aslında yeni fark edildi $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ yani $GE$ aslında sadece $b$.

Şimdi hesaplama gerçekten çok basit:

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

Yani alan tam olarak iki katıdır.

Answer 2

Bölüm çözümü $2$ (ek sorun):

İzin Vermek $I$ nokta ol nerede $AD$ çemberle kesişmek $O$ nın-nin $\triangle ABC$. Bağlan$IO$. Dan beri$AI$ açı açıortay $BI=CI$.

Yamuğu görmek kolaydır $BDEC$ simetriktir $IO$. Ayrıca$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ yani $\angle IBD=50^{\circ}$.

Şimdi izin ver $\angle IDB=x$. Yukarıdaki bilgileri kullanarak açı izleme ile bulduk$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

Eğer $ID>DB=DE$o zaman bizde $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ ve $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ yani $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ ki bu imkansız.

Eğer $ID<DB=DE$o zaman bizde $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ ve $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ yani $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ ki bu imkansız.

Bu nedenle $ID=DB=DE$ ve $\triangle IDE$ eşkenar, dolayısıyla $\angle IDE=60^{\circ}$ ve $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Bu nedenle$BD \perp AC$.

($N$ sadece $C$ yeniden etiketlendi)

Gerisi bir kez basit $BD\perp AC$. Bulabiliriz$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

Dan beri $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ ve alan oranı tam olarak $3$.