İki yakınsak dizinin terim farkı boş ise, dizilerin sınırlarının eşit olduğunun kanıtı

Question

Öneri: Gerçek sekanslar göz önüne alındığında $\{a_n\}$ ve $\{b_n\}$ yakınsak ve bu $\{a_n - b_n \}$ boş bir dizidir, o zaman $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Bu benim girişimimdi:

Belirtmek $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ ve $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Varsayalım$m \neq n$. Varsayalım$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Yakınsama ile$\{a_n\}$ ve $\{b_n\}$ve yeterince büyük olması için epsilon'un belirtilen değerini kullanarak $n$ bizde var $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, ve $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Bundan bizde

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Ama yoğunluğuna göre $\mathbb{R}$, biraz var $r \in \mathbb{R}$ öyle ki $a_n - b_n > r$ yeterince büyük için $n$. Ancak bu, gerçeğiyle çelişiyor$\{a_n - b_n\}$ boş bir dizidir, dolayısıyla $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Varsayımdan bir çelişki çıkarmaya dayanmayan bir kanıt olup olmadığını (ve umarım benimkinin doğru olduğunu da doğrulayabilir!) $l \neq m$. Bu sinir bozucu bir şekilde, birinci dereceden mantığı yazdığımda kanıtlamak için mücadele ettiğim o 'bariz' ifadelerden biri gibi görünüyor. Özellikle bunu doğrudan yapmanın bir yolunu bulamadım.

Answer 1

Çelişkili ispat gerçekten buradaki en doğal yaklaşımdır. Önsezi basittir: Eğer dizilerin farklı sınırları varsa, sonunda bu sınırlara yakın olmaları gerekir ve bu nedenle birbirlerine yakın olamazlar.

Yine de biraz daha kolay yapılabilir. İzin Vermek$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Bir$n_0\in\Bbb N$ öyle ki $|a_n-\ell|<\epsilon$ ve $|b_n-m|<\epsilon$ her ne zaman $n\ge n_0$. Ama sonra

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

hepsi için $n\ge n_0$, yani

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

hepsi için $n\ge n_0$, varsayımıyla çelişen $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ boş bir dizidir.

İddianızın bazı sorunları var. İlk önce, bunu varsayıyor gibisin$\ell>m$; Bu varsayımı yaparsanız gerçek bir genellik kaybı olmaz, ancak en azından bunu yaptığınızı söylemeniz gerekir. Görünüşe göre sonunda bunu varsayıyorsun$a_n-b_n$olumludur, bu durumda olması gerekmez. Son olarak ve en önemlisi, gerçek bir iddia olduğu iddiasına aslında herhangi bir gerekçe vermediniz.$r$ öyle ki $a_n-b_n>r$ yeterince büyük için $n$: bu aslında $|a_n-b_n|$ ve biraz olumlu $r$, ancak bunun yoğunluğuyla ilgisi yok $\Bbb R$.