İkili kütle yay sistemlerinde ekstra enerji

Aug 17 2020

Aşağıda, pürüzsüz bir yüzeye (sürtünmesiz) yerleştirilmiş bir Çift kütleli yay sistemi bulunmaktadır. $k$ bu durumda.

Şimdi değer baharında küçük bir uzantı yaratırsak $x_o$, iki kütle, genliklerle ayrı ayrı basit harmonik hareket (SHM) gerçekleştirecektir. $A_1$ ve $A_2$ sırasıyla öyle ki $A_1$ + $A_2$ = $x_o$. Şimdi söz konusu sistemin toplam enerjisi,$\frac{1}{2}kx_o^2$ ve bireysel salınımlarının enerjileri $\frac{1}{2}kA_1^2$ ve $\frac{1}{2}kA_2^2$. Fakat$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Peki bu ekstra enerji ne için kullanılıyor? Açıkça SHM için kullanılmıyor çünkü kitlelerin bireysel salınımlarının enerjisinin altına girmiyor. Bu yüzden ne için kullanıldığını söyleyemiyorum!

Benim de bir sorum var. Bireysel maksimum kinetik enerjileri aşağıdaki gibi ilişkilidir:$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, nerede $v_1$ ve $v_2$bireysel kütlelerin maksimum hızlarıdır. Ancak SHM uygulayan bir vücudun maksimum kinetik enerjisi, maksimum potansiyel enerjisine eşit olmalıdır! Yani$\frac{1}{2}kA_1^2$ eşit olmalıdır $\frac{1}{2}mv_1^2$ ve benzer şekilde $\frac{1}{2}kA_2^2$ eşit olmalıdır $\frac{1}{2}Mv_2^2$. Ama bu bizim denklemimize aykırı olurdu$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Bu yüzden burada neler olduğu konusunda oldukça kafam karıştı!

Peki bunu bana açıklayan var mı?

Yanıtlar

2 gandalf61 Aug 17 2020 at 21:13

Her iki kütleyi tek bir SHM sistemi olarak birlikte analiz etmeniz gerekir - daha sonra iki bağımsız SHM bileşenine bölemezsiniz.

Yay ile doğal uzunluğunda başladığımızı ve kütlesini hareket ettirdiğimizi varsayalım. $m$ bir mesafeyle sola $x_1$ ve kitle $M$ bir mesafeyle sağa $x_2$. Yayın her iki kütleye de uyguladığı kuvvet şimdi$k(x_1+x_2)$. Yani eğer kütleyi hareket ettirirsek$m$ itibaren $x_1=0$ -e $x_1=A_1$ ve kütleyi hareket ettiriyoruz $M$ itibaren $x_2=0$ -e $x_2=A_2$ o zaman ilkbaharda depolanan toplam enerji

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

nerede $y=x_1+x_2$, ve

$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

yani "ekstra enerji" yoktur.

Kütleleri serbest bıraktığımızda kütlenin hareket denklemi $m$ dır-dir

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

ve kitle için $M$ bu

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Bunları bir araya getirerek elde ederiz

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

nerede $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, ve $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Yani

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

benzer şekilde

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Yay doğal uzunluğuna döndüğünde, $y=0$ ve $\cos \sqrt{k'}t = 0$ yani $\sin \sqrt{k'}t = 1$. Yani sistemin kinetik enerjisi

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

Diğer bir deyişle, baharda depolanan potansiyel enerjinin tamamı beklendiği gibi kinetik enerjiye dönüştürülmüştür.

2 Farcher Aug 17 2020 at 21:33

İzin Vermek $x$ kütlenin denge konumundan maksimum yer değiştirmenin büyüklüğü $m$ ve $X$ kütlenin denge konumundan maksimum yer değiştirmenin büyüklüğü $M$.

Sistem için momentumun korunmasını gerektirir $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Bu sistem için salınımın doğal frekansı şu şekilde verilmektedir: $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

Sistemin maksimum kinetik enerjisi $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Değerini koymak $\omega^2$ ve çarpmak kinetik enerjiyi şu şekilde verir:

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Sistemin toplam enerjisinin sabit olduğunu göstermek için daha genel bir analiz yapmak mümkündür.