İşlevi için eşitsizlik $\arctan(x)$

Aug 17 2020

Bunu göstermek istiyorum $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ artıyor $(0, \infty)$. Bunu planlayarak net bir şekilde görebiliyorum, ancak bunu titizlikle yazmakta zorlanıyorum. Türevinin bu aralıkta her zaman pozitif olduğunu göstermesi açıkça yeterlidir (ki bu da grafiğe dökülmemelidir). Sahibiz$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ bu yüzden yine bunu göstermek yeterli $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(ve yine, bunu çizmekten açıkça anlaşılıyor). Türevini alarak tavşan deliğinden aşağı atladım$g$ ayrıca (olduğu için $0$ -de $x = 0$ bu yüzden bunu tekrar göstermek yeterli olacaktır $g' \ge 0$) ve benim için hemen yararlı hiçbir şey vermiyor. Lütfen yapabilirsen yardım et

Yanıtlar

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ hangisinin türevi $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ hangisinin türevi $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

Bunun yerine düşünün $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Bunu not et$g(0) = 0$bu yüzden bunu göstermek yeterli $g'(x) = 0$ için $x \ge 0$.

Şimdi, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Bu nedenle düşünmek yeterlidir$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ ve bunu göster $h(x) \ge 0$ için $x \ge 0$. Fakat$h(0) = 0$, ve $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ hepsi için $x$. Bu kanıtı tamamlar.