Kanıtı $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$, kümeler halinde liflenmiş kategoriler

Question

Lemma 3.34: İçin$F,G,H$ ayrık kategoriler / kümelerdeki ön kafalar: $$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$

İspat: Kümeler halinde liflenmiş kategorilerin tek 2-morfizmi kimliklerdir. (Ref:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf )

Soru: Kümeler halinde liflenmiş kategorilerin 2-morfizmlerini kullandıkları kanıtın lemmayı ispatlamada kimlikler olduğundan tam olarak emin değilim.

Deneme: Aralarındaki kategorilerin bir denkliğini göstermek istiyoruz $\mathfrak{S}_{F \times_H G}$ ve $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. Fiberwise doğrulaması yeterlidir.$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ hepsi için $S \in \mathfrak{S}$. Lemma tarafından$3.9$, $\mathfrak{S}_{F}$ lifli bir kategoridir $\mathfrak{S}$dolayısıyla lemma kullanabiliriz $3.31$ lifli kategoriler için geçerlidir ve $\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ hepsi için $S \in \mathfrak{S}$. Bir 1-morfizm, izomorfizm elde ederiz$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$ve tersini şu şekilde gösteriyoruz: $\alpha^{-1}$. Bu, 2-morfizminden beri bir denkliktir.$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$özdeşliktir, dolayısıyla 2-izomorfizmdir. Benzer şekilde,$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$ 2-izomorfizmdir.

Hatırlama / Özet (Örnek 3.8 s17):

2 kategori $\mathfrak{S}_F$:

İzin Vermek $F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$bir işlevci (yani, kategorilerin bir ön bölümü) olabilir. İlişkilendir$F$ aşağıdaki elyaf kategorisi $\mathfrak{S}_F$ bitmiş $\mathfrak{S}$: Nesneler çiftlerdir $(U,x)$ nesnelerin $U$ içinde $\mathfrak{S}$ ve $x \in F(U)$. Biçimlendirmeleri$(U, x)$ -e $(V, y)$ çiftler $(f, \varphi)$ morfizmlerin $f : U \to V$ ve $\varphi : x \to f^* y$nerede yazıyoruz $f^∗ := F(f)$. Bileşimi$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$ olarak tanımlanır $(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. Projeksiyon$\mathfrak{S}$ çiftlerin ikinci bileşenini unutur.

Answer 1

Soruda iki nokta kafa karışıklığı var gibi görünüyor.

Nokta 1: Neden kategorilerin tek 2-morfizmi kimlikleri kümeler halinde liflendirilmiştir?

Peki, lifli kategorilerin 2-morfizmi nedir?

İzin Vermek $A$ temel kategori olmak, $P:B\to A$, $Q:C\to A$ lifli kategoriler (fazla $A$), $F,G:P\to Q$ 1-lifli kategorilerin morfizmleri (yani, $QF=QG=P$). Sonra bir 2-morfizm$\alpha:F\to G$ doğal bir dönüşümdür $F$ -e $G$ özelliği ile $Q(\alpha_b)=1_{Pb}$ hepsi için $b\in B$ (yani, $\alpha_b$ Q-fiberde yatıyor $Pb$ hepsi için $b \in B$).

Bu durumda $Q$ setler halinde liflidir, çünkü $\alpha_b$ her zaman içinde $Q$-fiber bitti $Pb$ (kesikli / bir küme), buna sahibiz $\alpha_b$bir kimlik morfizmidir. Dan beri$\alpha_b:Fb\to Gb$ bir kimlik morfizmidir, şu sonuca varıyoruz: $Fb=Gb$ hepsi için $b\in B$ve herkes için $f:b\to b'$, doğallık kareleri kuvveti $Ff=Gf$, yani $F=G$, ve $\alpha=1_F=1_G$.

Başka bir deyişle, eğer $Q$ ayrık lifler, ardından hom kategorileri vardır $\mathbf{Fib/A}(P,Q)$ ayrıca ayrıktır.

Nokta 1.5: 2 elyaflı ürünler ile 1 elyaflı ürünler için Nokta 1'in etkileri

İddia: if $R:D\to A$ ayrık liflere sahip lifli bir kategoridir ve $P:B\to A,Q:C\to A$ keyfi lifli kategorilerdir ve $F:P\to R$, $G:Q\to R$ lifli kategorilerin 1-morfizmleri, ardından 1-lifli ürün $P\times_R^1 Q$ aslında 2 lifli ürün $P\times_R^2 Q$.

İşte basit bir kanıt. Farz edin ki size 2-gidip gelen bir kare verdim$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$ o zaman çünkü $R$ayrık liflere sahiptir, bu kareye gidiş geliş yapabilen tek 2-morfizm bir kimliktir, bu yüzden aslında 1-gidip gelir. Böylece benzersiz bir morfizm var$T\to P\times_R^1 Q$. Bu morfizmin benzersizliği, izomorfizme kadar benzersizliği garanti eder, bu nedenle bu,$P\times_R^1 Q$ 2 lifli bir ürünün evrensel özelliğini karşılar $P$ ve $Q$ bitmiş $R$.

Alternatif olarak, ne zaman olduğunu kontrol edin. $R$ ayrık liflere sahiptir, açık yapısı $P\times^2_R Q$ her zamanki yapısına izomorfik bir şeye indirgenir $P\times^1_R Q$.

Nokta 2: Bu gerçek neden iddia edilen sonucu ima ediyor?

Kullanacağım $\int U$ eleman kategorisini / Grothendieck yapısını belirtmek için $U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$, benim deneyimlerime göre daha standart bir gösterim olduğu için, en azından setler halinde değer verilen ön kafalar için.

Göstermek istiyoruz $$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$ nerede $U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$ kategorilerin bir dizi ön dizisidir ve $W$ ayrı kategorilerde değerlidir.

Soldaki elyaf ürününün 1 elyaflı ürün olarak alınabileceğini biliyoruz. $W$ bir ön kafadır $\mathbf{Set}$. Sonra sol taraftaki nesneler tupladır$((a,u),(a,v))$ ile $u\in U(a)$, $v\in V(a)$, öyle ki $\phi(u)=\psi(v)$ve morfizmleri $((a,u),(a,v))$ -e $((a',u'),(a',v'))$ sol tarafta tuple $((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, öyle ki $\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.

Öte yandan, sağ taraftaki nesneler tuple $(a,(u,v))$ ile $(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$ve morfizmler $(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$ sağ tarafta çiftler var $(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.

Verileri karşılaştırdığımızda, iki tarafın aynı verilerden oluştuğunu görüyoruz ve iki kategori arasında bir izomorfizm verebiliyoruz.

Notu bitir

Ne zaman $U$ ve $V$ aynı zamanda setler halinde değer verilen ön sargılardır, bu daha da basitleşir, çünkü soldaki morfizmler artık sadece $f:a\to a'$ öyle ki $u=f^*u'$, $v=f^*v'$ve sağdaki morfizmler de $f:a\to a'$ öyle ki $(u,v)=f^*(u',v')$.