Kapalı olmayan bir yüzey üzerinde çift katlı integrali nasıl değerlendirebilirim?

Question

İzin Vermek $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ ve izin ver $S$ yüzey ol $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Eğer$\hat{n}$ normal bir birimdir $S$ ve $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Sonra $\alpha=?$

S yüzeyi kapalı olmadığı için Gauss diverjans teoremini burada uygulayamayız. O halde bu soruya nasıl devam edilir? Lütfen yardım et.

Answer 1

Yüzeyin sınırının eğri olduğuna dikkat edin $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Stokes teoremine göre, eğer iki yüzey aynı sınırı paylaşıyorsa, kıvrımın her iki yüzeydeki integrali aynı olacaktır. Yani

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

her ikisi de yukarı veya aşağı yönlü.

Bu neden hayatı kolaylaştırır? Yeni başlayanlar için, Jacobian arasında$z=0$ uçak ve her zamanki $xy$ koordinatlar $1$ (Jacobian, kendisinden kendisine $1$) ve normal vektör sadece $z$ yön, yani tüm rotasyoneli hesaplamak zorunda bile değiliz, sadece $z$ olan bileşen

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Bu bize şu eşitliği verir

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ garip bir fonksiyondur, bu nedenle integrali diskte kaybolur. $x$simetri. Geriye kalan tek integral bir sabittir, bu da bize sadece sabit olan yüzey zamanlarının alanını verir:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Böylece $\alpha =2$