Karmaşık diferansiyel formları içeren hesaplama

Aug 16 2020

Karmaşık geometri üzerine bu ders notunu okuyorum ve karmaşık diferansiyel formları içeren tek bir hesaplamaya (görünüşte temel) takılı kaldım. Varsayalım$X$ karmaşık bir yüzeydir ve $\omega$ bir holomorfik (1,0) -formudur, yani $\omega$ operatör tarafından öldürüldü $\overline{\partial}$. İzin Vermek$\overline{\omega}$karşılık gelen (0,1) eşlenik formu olabilir. Yazar iddia ediyor ki

\ begin {equation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}

Şimdi beri $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$sağ taraf, $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Ancak sol tarafın aynı ifadeyle nasıl yazılabileceğini göremiyorum (dış türevler için olağan kuralı kullanarak). Herhangi bir anlayış takdir edilecektir.

Yanıtlar

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ üç formda iken RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$dört formdur. Aynı değiller.

Nota bakıp yazdılar

Şimdi Stokes Teoremi tarafından $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (Çünkü $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Bunun sadece bir yazım hatası olduğuna inanıyorum ve muhtemelen $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$