Koni ne zaman $C(X)$ yerel olarak kompakt bir alanda?
Bu forumda bu sorunun özel durumlarıyla ilgili birkaç soru var, örneğin bunun için$X = \mathbb Z$ve bunun için$X = \mathbb R$. Sorum şu
Gerekli ve yeterli koşullar nelerdir $X$ koninin yerel kompaktlığını sağlayan $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
Cevap, yerel kompaktlığın kesin tanımına bağlı olabilir. İşte iki çeşit:
$X$ her biri yerel olarak kompakt $x \in X$ kompakt bir mahalleye sahiptir.
$X$ her biri yerel olarak kompakt $x \in X$ kompakt kümelerin neigborhood temeline sahiptir.
Açıkça 2., 1'den daha güçlüdür. "Kompakt" ın "Hausdorff" u içerdiği varsayılırsa, 1. ve 2. eşdeğerdir. Aynısı Hausdorff için de geçerli$X$ "kompakt" yorumundan bağımsız.
Okuyucu, en sevdiği yorumu kullanması için teşvik edilir.
Açıkça yeterli bir koşul şudur:
Eğer $X$ kompakt, o zaman $C(X)$ kompakttır ve bu nedenle 1. anlamda yerel olarak kompakttır. $X$ kompakt Hausdorff ise $C(X)$ kompakt Hausdorff ve bu nedenle 2 anlamında yerel olarak kompakt.
Benzer şekilde, bariz bir gerekli koşul şudur:
Eğer $C(X)$ yerel olarak sıkıştırılmışsa $X$ yerel olarak kompakttır.
Aslında, $X$ tabana homeomorfiktir $X \times \{0\}$ nın-nin $C(X)$ Kapalı olan $C(X)$, dolayısıyla yerel olarak kompakt.
Eğer $X$ yerel olarak kompakt, ardından açıkça açık alt uzay $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ yerel olarak kompakt, nerede $*$ ipucu $C(X)$, yani noktaların ortak eşdeğerlik sınıfı $X \times \{1\}$.
Bana öyle geliyor ki kompakt olmayan $X$yerel olarak kompakt bir koniye sahip olamaz. Sebep şu ki eğer$C(X)$ yerel olarak sıkıştırılmışsa $*$kompakt bir mahalleye sahip olmalıdır. Kısmi bir sonuç ispatlayabilirim (kendi soruma verdiğim cevaba bakın). Ama daha genel bir teorem olup olmadığı ile ilgileniyorum.
Yanıtlar
İşte kısmi bir cevap.
İzin Vermek $X$normal (Hausdorff dahil) sayılabilir bir parakompakt uzay olabilir. O zaman aşağıdakiler eqiuvalenttir:
$X$ kompakttır.
$C(X)$ kompakttır.
$C(X)$ yerel olarak kompakttır.
Bu, tüm parakompakt Hausdorff alanları için geçerlidir $X$özellikle tüm ölçülebilir $X$.
1. ve 2.'nin denkliği açıktır ve 2. 3 anlamına gelir. 3'ün ima ettiğini göstermeye devam eder 1. Stratejimiz $X$ ucun kompakt bir mahallesinin kapalı bir alt kümesi olarak $*$ nın-nin $C(X)$. Bu, tabanı kaydırarak yapılacaktır.$X \times \{0\}$ nın-nin $C(X)$ doğru $*$.
İzin Vermek $U$ açık bir mahalle olmak $*$ içinde $C(X)$ kompakt kapaklı $K \subset C(X)$. Eğer$p : X \times I \to C(X)$ bölüm haritasını gösterir, sonra $V = p^{-1}(U)$ açık bir mahalle $X \times \{1\}$ içinde $X \times I$. Her biri için$x \in X$ İzin Vermek $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Açıkça$0 \le f(x) < 1$ Çünkü $V$açık. Dahası$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. İşlev$f$ üst yarı sürekli: Let $f(x) < r$. Toplamak$t$ öyle ki $f(x) < t < r$. Sonra$\{x \} \times [t,1] \subset V$ ve böylece açık bir mahalle vardır $W_x$ nın-nin $x$ içinde $X$ öyle ki $W_x \times [t,1] \subset V$. Sonra$f(y) \le t < r$ için $y \in W_x$. Dan beri$f(x) < 1$ hepsi için $x$ ve sabit fonksiyon $1$ Dowker tarafından bağımsız olarak kanıtlanmış bir teorem olan düşük yarı süreksizdir (bkz. "Sayılabilecek parakompakt uzaylar üzerine." Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Theorem 4) ve Katetov (bkz. "Topolojik olarak gerçek değerli fonksiyonlar hakkında boşluklar. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / Teorem 2) sürekli bir $h : X \to \mathbb R$ böyle $f(x) < h(x) < 1$ hepsi için $x$. Tanımlamak$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Bu bir yerleştirmedir: Aslında, kısıtlama$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ bir yerleştirmedir ve $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, bir katıştırmadır. Dahası,$H(X)$ kapalı $C(X)$ ve $\bar h(X) \subset V$, Böylece $H(X) \subset U \subset K$. Şu sonuca varıyoruz ki$H(X)$kompakttır. Bu nedenle$X$ kompakttır.
Güncelleme:
Yukarıdaki teorem, normal (Hausdorff dahil) sayılabilecek parakompakt uzay $X$ kompakt olmayan yerel olarak kompakt bir koniye sahip olamaz.
Gelen özel durumda a'nın$\sigma$-kompakt yerel olarak kompakt Hausdorff $X$ üst ve alt yarı sürekli fonksiyonlar için yukarıdaki "sandviç teoremi" kullanmayan alternatif bir kanıt verebiliriz.
Öyleyse izin ver $C(X)$ yerel olarak kompakt olun, $U$ açık bir mahalle olmak $*$ içinde $C(X)$ kompakt kapaklı $K \subset C(X)$ ve $V = p^{-1}(U)$ açık bir mahalle olan $X \times \{1\}$ içinde $X \times I$.
Sahibiz $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ kompakt $K_n \subset X$ öyle ki $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Açık var$W_n \subset X$ ve $t_n \in (0,1)$ öyle ki $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog, dizinin$(t_n)$azalmaz. Bunu not et$s_n = (1+t_n)/2$ içinde bulunur $(t_n,1)$. İzin Vermek$B_n = \operatorname{bd} K_n$ kompakt olan (ancak muhtemelen boş; bu durumda $K_n$klopen). Takımlar$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ kompakttır ve ayrık seti içerir $B_n$ ve $B_{n-1}$ (resmen biz belirledik $K_0 = \emptyset$). İndüktif olarak sürekli inşa ediyoruz$f_n : C_n \to I$ aşağıdaki gibi: $n=1$ İzin Vermek $f_1(x) = s_2$. Verilen$f_1,\ldots, f_n$ öyle ki $f_i(x) = s_i$ için $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ için $x \in B_i$ ve $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ hepsi için $x \in C_i$ bulmak için Urysohn teoremini kullanıyoruz $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ öyle ki $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ için $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ için $x \in B_{n+1}$ ve $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ hepsi için $x \in C_{n+1}$. Tüm bunların koleksiyonu$f_n$, $n \in \mathbb N$, sürekli olarak yapıştırılabilir $f : X \to I$ mülke sahip olmak $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. Aslında için$x \in C_n$ sahibiz $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ ve böylece $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. İnşaat tarafından$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ kapalı bir alt kümesidir $C(X)$ hangisine homeomorfik $X$ ve kapalı bir alt kümesi olarak $K$, kompakt.