Manyetik Alandaki Dairesel Akım Döngüsü için Tork Entegrasyonu [kapalı]

Question

Tork formülünü bir manyetik alan içindeki dairesel bir akım döngüsünde türetmeye çalışıyorum. Formülün olduğunu biliyorum:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Ben akım olduğunda, B manyetik alandır ve A Alan'dır.

Şimdiye kadarki girişimim:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Şimdi, Tork formülü ise: $\tau=bF\sin{\theta}$, ve $b = r\sin{\alpha}$, sonra

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Nihayetinde, bu son denklemin integralini alırsam, nasıl entegre edeceğimi tam olarak anlayamam $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Sanırım temeldeki yanlış anlamam burada yatıyor: neyin integralini söyleyebilirim $d\vec{s}\times \vec{B}$Çemberin çapını bildiğim için olacak. Ancak, ifade etmenin bir yolu olmadığını düşünüyorum$\sin{\alpha}$ göre $ds$.

Yanlış mı anlıyorum? teşekkür ederim

Answer 1

Vektör gösterimleri kullanmadınız, bu yüzden oldukça berbat görünüyor. Ayrıca kullandın$M$ tork için (olmalıdır $\tau$) manyetik moment yerine (genel olarak kabul edilen sembollerdir).

Kanıt:

Dairesel bir döngü içinde yatıyor $x-y$ raduis ile uçak $r$ ve başlangıç ​​noktasında ortala $O$. Saat yönünün tersine sabit bir akım taşıyor. Tek tip manyetik alan var$\vec B$ pozitif yönlendirilmiş $x$eksen.

Bir öğe düşünün $d\vec s$ bir açıyla halka üzerinde $\theta$ bir açının altını çizmek $d\theta$kökeninde. Bu elemandaki tork şu şekilde verilir:

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

---

Not: Hesaplama kısmını atladım. Ayrıca alabilirsin$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$Sadece aldım $x$- basitlik için bileşen. Sonuç aynı şekilde yeniden ortaya çıkacaktır. İletkenin şekli ile aynı, kare veya daire farketmez.

Answer 2

Bunu ds'nin aslında $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ uzunluk akor formülüne göre.

Kısacası, aslında yazarak $d\vec{s}\times \vec{B}$ açısından $\alpha$.