Mathematica, trigonometrik bir integral ( $\sec^3$) kanıtlayamayacağım bir biçimde

Aug 16 2020

Belirsiz integral elbette $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica şunu verir:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

$1/2 \sec(x) \tan(x)$ var, ancak Mathematica'nın logaritmasının gerçekten olduğunu kanıtlamak için birkaç saat harcadım $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$ve bunu yapamıyorum! $x/2$yarım açılar benim için işlere bir anahtar fırlatıyor. Bana çok yanlış geliyorlar, geriye doğru yarım açı formülü gibi. Kareleri görmek istediğim yerde karekök elde ediyorum.

Eminim bariz bir şeyi kaçırıyorum, ama göremiyorum!

Yanıtlar

4 flinty Aug 15 2020 at 22:13

Farklılaştırın, logaritmaları birleştirin ve yarım açı formüllerini ve özdeşliği kullanarak geriye doğru çalışın $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

İlk gösterirseniz oraya kendiniz gidebilirsiniz:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Yukarıdaki sonucu elde etmek için, hepsini ortak bir paydanın üzerine koyduğunuzda ne olduğuna bir bakın:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Pay, kimliğe göre açıkça 1'dir. $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ ve payda $\cos(x)$yarım açılarla. Bunu görmek için paydayı genişletin$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ almak $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. O zaman bizde$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ ve $1/d$ dır-dir $\sec(x)$

... ve türevin geri kalanına gelince:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Yani bu nedenle:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)