Neden katı bir cisimdeki tüm hareket aynı anda durur?
Sorunu ortaya koyan bir kitap okuyordum:
Hoşnutsuz bir hokey oyuncusu buzun üzerine bir hokey sopası fırlatır. Kayarken kütle merkezi etrafında döner ve sonunda sürtünme etkisiyle durur. Dönme hareketi, kütle merkezinin durduğu anda durur, önce ve sonra değil. Sebebini açıkla.
Ben de benzer bir soruyu gördüm: Neden bir buz hokeyi sopası buza atıldığında durmadan önce dönüp çevirir? Neden sadece döndürmek ya da sadece çevirmek değil? ama cevaptan memnun olduğumu hissetmedim.
Soru enerji bölümündeydi, bu yüzden onu enerji ile çözmeye çalıştım. Eğer COM üzerindeki sürtünme kuvveti F ise ve durmadan önce s mesafe kat etmişse, denklemi yazabiliriz diye düşündüm.$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$burada LHS, ilk kinetik enerjiyi temsil eder. Dönme enerjisi için de benzer bir denklem yazabiliriz, ancak bundan sonra ne yapacağımı bilmiyorum. Bunu kesin bir şekilde veya sadece akıl yürütme yoluyla kanıtlamaya çalışmak bile mantıklı mı?
Bu soruyu düşünmekten gelen bir diğer soru da, sürtünmenin getirdiği torku sadece bir noktada değil, çubuk boyunca dağıldığı için nasıl ölçersiniz?
Yanıtlar
Çubuk, uzunluğu boyunca zemine düz teması olan bir çubuk ise, dönmeye karşı gelen sürtünme kuvveti, onu , COM'a sabitlenmiş, düzgün dağılmış yüke sahip 2 konsol kiriş olarak modellemeyi önerir . Sürtünme yükü uzunluğu boyunca dağıtılır ve maks. COM'a yakın tork ve uçlarda sıfır.
Dolayısıyla uçlara yakın küçük bir alan için toplam tork yalnızca bu alandaki yükten kaynaklanır: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ ve elemandaki sürtünme kuvveti $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
Eylemsizlik momenti $\delta I = \delta m r^2$ ve $$\omega = \frac{v}{r}$$
Yani, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Aynı bölgedeki ortalama öteleme hızını azaltmak için kuvveti ortadan kaldırırsak: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
Aynı hızlanma altında birlikte azalmaları gerekir. Çubuğun uçlarında meydana gelirse, bu model için tüm gövde aynı anda doğrusal olarak dönmeyi ve hareket etmeyi durduracaktır.
Ancak, örneğin, orta bölümün teması varsa ancak uçları yoksa, öteleme hareketini durdurduktan sonra çubuğun dönmeye devam etmesi tamamen mümkündür.
İfadenin doğru olduğunu sanmıyorum. Genel olarak, kayan bir nesne diğer hareket durmadan önce dönmeyi veya çevirmeyi durdurabilir. Sadece bir tane olabilir.
Örneğin, tek tip bir disk alın. Döndür ve buzun üzerinde dinlen. Bir süre yerinde dönecek ve duracaktır. Aynı şekilde, döndürmeden kaydırın. Durana kadar kayacaktır.
Bağladığınız gönderinin gösterdiği gibi, bir hokey sopası özeldir. Farklı uçlarda farklı sürtünme katsayılarına sahiptir. Bu, sadece kaymaya başlarsanız dönmesini sağlayabilir. Ama buna gerek yok. Yüksek sürtünmeli uç arkada olacak şekilde kaydırın, bir tür yay ve ok fırlatır gibi. Dönmeden durana kadar kayacaktır.
Biraz döndürür ve çok fazla hız verirseniz, sürtünme onu durma noktasına gelmeden önce yönlendirebilir.
Diğer cevapları (her ikisine de +1) okuduktan sonra, sezgimin yanlış olduğu sonucuna vardım. Döndürme ve çeviri aynı anda durur.
İşte her iki hareketler aynı anda durması neden kayar ve ince diskler ile hareket iplik birleştirilmesini analiz eden bir kağıt olduğunu ve. Makale matematiksel bir model oluşturuyor ve teoriyi test eden naylon bir yüzey üzerinde bir CD ile deneylerin sonuçlarını bildiriyor.
Yorumlara yanıt olarak düzenleme: Matematiksel model, tekdüze kütle dağılımına sahip düz bir diski varsayar ve sonlu yüksekliğinden gelen etkileri açıkça görmezden gelir (eğri yörüngelere yol açan düzgün olmayan normal bir kuvvet). Deneyler bir yaklaşım olarak bir CD kullanır. Bir tepe farklı davranabilir, ancak bir tepenin ucunun, hareket etmek için çok da yeterli olmayan kuvvetlerin (devinim, hava kabarcığı veya yüzeydeki pürüzlülük gibi) bir sonucu olarak yüzey boyunca "dolaştığını" gözlemleyebiliyorum. dönmüyorsa.
Dönme ve kayma arasındaki bu etkileşimin altında yatan sebep, dinamik sürtünmenin hareket hızından bağımsız olmasıdır ; sadece normal kuvvete (burada yerçekimi kuvvetine) ve malzeme sabitlerine bağlıdır. Her yüzey noktasındaki yönü , o noktanın hızının yönüne zıttır. Hızlı dönen, kayan bir nesne ile tüm hız vektörleri neredeyse tamamen teğetseldir çünkü dönme kısmı vektörlere hakimdir. Vektörlerin büyüklüğü çok yüksektir, ancak ilgisizdir: Sürtünme kuvveti buna bağlı değildir. Sonuç olarak, sürtünme kuvvetleri de neredeyse tamamen teğetseldir; ileri hareketle ilgili olarak çoğunlukla birbirlerini iptal ederler ve sadece dönüşü yavaşlatırlar. 1
Gerçekte, dönme ileri harekete kıyasla hızlıysa sürtünme torku (dönüşü yavaşlatan) doğrusal sürtünme kuvvetinden (ileri hareketi durduran) daha yüksektir - ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle, iki hareketten "daha hızlı" olanı, hizalanana ve birlikte durana kadar daha fazla frenlenir. Aşağıdaki şekil (makalenin s. 2'si) bu karşılıklı bağımlılığı göstermektedir.$\epsilon$ ileri hareket ile açısal hareketin bölümüdür, $v/R\omega$. Küçük doğrusal hareket, ancak hızlı dönüş için sürtünme torku baskındır (şekil (a) 'nın sol tarafı) ve az dönüşlü hızlı doğrusal hareket için doğrusal sürtünme baskındır (şeklin sağ tarafı):
1 Bu biraz alışılmadık bir durum: Hızları veya kuvvetleri genellikle bileşenlerine "ayırıyoruz" ve bunları ayrı ayrı, bağımsız olarak ele alıyoruz. Bu durumda, yanal bileşen uzunlamasına sürtünmeyi etkiler çünkü vektörün yönünü değiştirir ve bunun tersi de geçerlidir: Çünkü belirli bir yöndeki sürtünme, o yöndeki vektör bileşeninin büyüklüğüne bağlı değildir. Bu bileşenin büyüklüğü sabittir, sürtünme değildir. Oldukça mantık dışı.