Neden ki $x(t)$ periyodik değil ama $x[n]$ dır-dir?
Sinyalleri ve sistemleri araştırıyorum ve bu sorunla karşılaştım.
Tanım olarak, $x(t)$ sürekli zaman sinyalini ve $x[n]$ ayrık zaman sinyalini belirtir.
$x(t)$ sabit varsa periyodiktir $T>0$ öyle ki $x(t) = x(t+T)$ hepsi için $t$ gerçek sayıların bir alt kümesidir.
$x[n]$ sabit varsa periyodiktir $N>0$ öyle ki $x[n] = x[n+N]$ hepsi için $n$ tam sayıların bir alt kümesidir.
Sonra şu soruyla karşılaştım: Neden $x(t)$ periyodik olmayan?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
Yaptığım çalışmalar şöyle:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Varsaymak $x(t) = x(t+T)$
yani $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Düşünen $k$bir tamsayı, bu periyodik değil mi? Hesaplamam yanlışsa lütfen bana bildirin.
Alakasız bir konu yayınlıyorsam özür dilerim ve geri bildiriminiz için teşekkürler.
Yanıtlar
Gösterdiniz *:
Eğer $x(t)$ periyodik, sonra biraz var $T>0$ öyle ki $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ her gerçek için bir tamsayıdır $t$.
* Düzenleme: Yorumlarda @ SHW'nin belirttiği gibi, bu tam olarak doğru değil. Aksine, olmalı
$x(t)$ periyodiktir ancak ve ancak varsa $T > 0$ öyle ki en az biri $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ veya $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ her gerçek için bir tamsayıdır $t.$
Dan beri $T \neq 0$bazılarının olacağı oldukça açık olmalı $t$ öyle ki bu ifadelerin hiçbiri bir tamsayı vermez. $x(t)$ periyodik değildir.
Kanıtlamak için, her tam sayı için şunu unutmayın: $k$benzersiz bir gerçek var $t$ öyle ki $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ ve en fazla iki gerçek sayı $t$ öyle ki $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ Sayıca çok sayıda tam sayı olduğundan, sayılabilecek kadar çok $t$ öyle ki en az biri $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ veya $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$bir tamsayıdır. Sayılamayacak kadar çok sayıda gerçek sayı olduğundan, bazı gerçek$t$ öyle ki hiçbir ifade bir tamsayı vermez.
Yukarıda bahsettiğim gibi, bu gösteriyor $x(t)$ periyodik değildir.
Öte yandan, örneğin $T=8$ görmek için $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ ne zaman olursa olsun bir tamsayıdır $t$ bir tamsayıdır ve $x[n]$ periyodiktir.
İzin Vermek $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Eğer$x(t)$ ile periyodik $T$ o zaman var $T \gt 0$ öyle ki $x(t) = x(t+T)$ hepsi için $t \in \mathbb{R}$. Yani bu durumda bizde$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Eğer $t = 0$ sonra $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Her iki tarafı farklılaştırmak ve izin vermek$t = 0$ sahibiz $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ Anlamı $T = 0$ veya $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. İlk vakaya izin verilmediğinden şu sonuca varıyoruz:$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Eğer iki kez farklılaşırsak ve yine izin verirsek$t = 0$ sonra $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ Sonuçların birleştirilmesi, $T = 0$ buna göre izin verilmiyor $T \gt 0$. Burada farklılaştırmayı kullanmanın motivasyonu şudur:$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ elde etmemize yardımcı olan $T$ dışında $\cos$işlev görür ve bir çelişkiye ulaşır. Elbette Brian'ın cevabı çok daha zariftir ve türev hesaplamaları gerektirmez.