Nedir $\Pr(X + Y < 0)$ nerede $X \sim U(0,1)$ ve $Y \sim N(0, 1)$? $X$ ve $Y$ bağımsız

Question

Şimdiye kadar denediğim şey bu:

\begin{align} f_X = 1 \\ f_Y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5y^2) \end{align}

O zaman izin ver $Z = X + Y$ ve bizde var

\begin{align} f_Z(z) = \int_0^1 f_X(x) f_Y(z - x) \, dx \\ f_Z(z) = \int_0^1 1 \cdot f_Y(z - x) \, dx \\ = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x - z)^2) \, dx \end{align}

Yani \begin{align} Pr(Z \leq 0) = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x-z)^2) \, dx \, dz \\ = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5x^2) \exp(- 0.5z^2) \exp(0.5xz)\,dx\,dz \\ \end{align}

Bu, değerlendirmek için can sıkıcı bir integral olacak gibi görünüyor. Doğru yaklaşımı benimsediğimden emin değilim. Bunun için daha kolay bir yöntem var mı?

Answer 1

Varsayım $X,\,Y$ bağımsızdır:

Biz istiyoruz $Y$-ortalama $Pr(X<-Y)$sabit olan $Y$ dır-dir $0$ Eğer $Y\ge0$, $1$ Eğer $Y<-1$ ve $-Y$aksi takdirde. Ortalama$$\int_{-\infty}^{-1}f_Y(y)dy-\int_{-1}^0yf(y)dy=\Phi(-1)+\tfrac{1-e^{-1/2}}{\sqrt{2\pi}}\approx0.315.$$

Answer 2

X ve Y'nin bağımsız olduğunu belirtmekten kaçınmak çok büyük bir hatadır. Yazıldığı gibi alıştırma çözülemez.

Öyleyse, bağımsızlığı varsayarsak, önce şunu gözlemleyin: $Y<-1$ her zaman doğrudur $X+Y<0$ ve bu olasılıkla olur $\Phi(-1)\approx 15.87\%$

Geri kalanı için ne zaman $Y>-1$ Çözülecek integral

$$\int_{-1}^{0}\phi(y)dy\int_{0}^{-y}dx=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{0}ye^{-\frac{y^2}{2}}dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[e^{-\frac{y^2}{2}}]_{-1}^{0}=\frac{1-e^{-0.5}}{\sqrt{2\pi}}$$

Aşağıdaki mor alandaki integraldir

Answer 3

Sanırım tam dağıtımını elde etmek daha iyi $Z=X+Y$CDF'ler için evrişim formülünü kullanarak. Pdf'ler için evrişim kullandığımda$$ f_Z(z) = \Phi(z)-\Phi(z-1), -\infty<z<\infty $$entegrasyonu çok zor, bu yüzden CDF'ler için evrişim kullandım. Değilse$Y \sim R(0,1)$, sonra $F_Y(y) = P(Y<y) = P(Y<z-x)$, dolayısıyla: $$ F_Y(z-x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x>z\\ z-x & 0<z-x<1\\ 1 & x<z-1 \end{array} \right. $$ Böylece pdf'ini görmezden gelebiliriz $X$ Eğer $ X>z$. İkinci durum için aşağıdaki sınırlara sahibiz:$z-1<x<z$ve CDF'si $Y$ dır-dir $z-x$üçüncü durum için, CDF $Y$ dır-dir $1$bu yüzden sadece pdf alıyoruz $X$ için $-\infty<x<z-1$. Dan beri$-\infty <z<\infty$, sadece bu üç durumu bir araya getirdik: \begin{align} P(Z<z) &= F_Z(z) = \int_{z-1}^{z}(z-x)\varphi_X(x)dx + \Phi(z-1) \\ &= z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) - \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx + \Phi(z-1), -\infty <z< \infty \end{align} nerede $\varphi, \Phi$standart normal dağılımın yoğunluğu ve cdf'sidir. Fişe takarak$z=0$sonucu alırsın. Bu CDF'nin mantıklı olduğunu unutmayın, çünkü$$ \lim_{z \to \pm \infty} z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) = 0 \ \ (1)\\ \lim_{z\to \infty} \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx = 0 \ \ (2)\\ \lim_{z \to \infty} F_Z(z) = 1\\ \lim_{z \to -\infty} F_Z(z) = 0 $$ Burada hem (1) hem de (2), üst ve alt sınırlar alınarak kanıtlanabilir. $z$ ve $x$ilgili aralıklar için ve ardından limiti alarak. Ayrıca not$z-x$her zaman pozitiftir, bu nedenle tüm ifade her zaman pozitiftir. Şimdi türevi alalım wrt$z$ (işaretlere dikkat edin) $$ f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \ -\infty <z< \infty $$ Ayrıca limitleri de kontrol edin.