Normlu uzayın zayıf topolojisi

Question

İzin Vermek $X,Y$ iki normlu alan olmak ve $T:X\rightarrow Y$ sınırlı doğrusal operatör. Şimdi düşünün $X,Y$zayıf topolojiye sahip. Sorum şu ki$T$ zayıf kompakt kümesini eşler $X$ zayıf kompakt sete $Y$ ve ikinci soru şudur ki $T$ donatırsak kesintisiz bir harita olarak kalır $X,Y$ zayıf topolojiye sahip.

Answer 1

Eğer $V$ alt temel unsurudur $\tau_w$ içinde $Y$ kapsamak $0_Y$, sonra işlevsel bir $\phi:Y\to \mathbb F$ ve $\epsilon>0$ öyle ki $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Sonra,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Şimdi$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ bir (norm-) sürekli doğrusal işlevseldir, bu nedenle $T^{-1}(V)$ zayıf bir şekilde açık $X$ ve içerir $0_X$. Bunu takip eder$T$zayıf-zayıf süreklidir. Bu, ikinci soruya olumlu bir cevap verir ve o da birincisine olumlu bir cevap verir.

Answer 2

Bu cevap yeni bir şey sağlamaz, ancak sekanslar açısından bir açıklamanın daha net olabileceğini düşünüyorum. Yoğunluk sorusu, zayıftan zayıfa süreklilikten kaynaklanır (çıkarım, keyfi topolojiler için geçerlidir), bu nedenle ikincisini göstermek yeterlidir.

Varsayalım $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Sonra herkes için$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. Özellikle, formun herhangi bir ikilisi$g\circ T$, nerede $g\in Y^*$tatmin edecek $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Ama bu sadece $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.