Normlu ve iç çarpım uzayının tanımı
Normlu Vektör uzayları ve İç çarpım uzayları hakkında bazı Wikipedia sayfaları okuyordum ve tanımlarda her ikisinden de vektör uzaylarından bahsediyorlar.$\Bbb R$ veya $\Bbb C$.
Bunun nedeni, kullanışlı normlu ve iç çarpım alanlarının çoğunun bitmiş olmasıdır. $\Bbb R$ veya $\Bbb C$ veya bu boşluklar yalnızca bu belirli alanlar üzerindeki vektör uzayları için mi tanımlanmıştır?
Düzenleme: Bu yazının yorumlarında bu konuyu tartıştıktan sonra sorumu yeniden ifade etmek istiyorum:
İzin Vermek $V$ bir alan üzerinde vektör uzayı olmak $\mathbb F$. Hangi koşul olmalı$\Bbb F$ istersek doğrula $V$bir iç çarpım alanı olabilmek için? Normlu bir vektör uzayına ne dersiniz?
Yanıtlar
Herhangi bir normlu alan üzerinde çalıştığına inanıyorum (en azından normlu uzay, iç çarpım uzayları için emin değilim, çünkü karmaşık eşlenik için biraz genellemeye ihtiyacınız olacak). Normlu bir alan$k$ normla donatılmış bir alandır $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ öyle ki
- $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
- $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
- $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$
Senin alanın $k$ ayrı bir değerlemesi var $\nu$ tanımlayarak bir norm oluşturabileceğinizi $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ herhangi bir pozitif için $a$...
Her halükarda, Bourbaki'nin size en genel tanımı sağlayacağına eminim.
Ve norm haritasının uyması gereken koşulu gevşetmek istiyorsanız $\mathbb{R}_{\ge0}$, Bence bunu yapmanın da bir yolu var ve sadece bir tür tamamen düzenli yarı devrelerle eşleştirsin ...