Normlu ve iç çarpım uzayının tanımı

Dec 26 2020

Normlu Vektör uzayları ve İç çarpım uzayları hakkında bazı Wikipedia sayfaları okuyordum ve tanımlarda her ikisinden de vektör uzaylarından bahsediyorlar.$\Bbb R$ veya $\Bbb C$.

Bunun nedeni, kullanışlı normlu ve iç çarpım alanlarının çoğunun bitmiş olmasıdır. $\Bbb R$ veya $\Bbb C$ veya bu boşluklar yalnızca bu belirli alanlar üzerindeki vektör uzayları için mi tanımlanmıştır?

Düzenleme: Bu yazının yorumlarında bu konuyu tartıştıktan sonra sorumu yeniden ifade etmek istiyorum:

İzin Vermek $V$ bir alan üzerinde vektör uzayı olmak $\mathbb F$. Hangi koşul olmalı$\Bbb F$ istersek doğrula $V$bir iç çarpım alanı olabilmek için? Normlu bir vektör uzayına ne dersiniz?

Yanıtlar

philip98 Jan 01 2021 at 01:02

Herhangi bir normlu alan üzerinde çalıştığına inanıyorum (en azından normlu uzay, iç çarpım uzayları için emin değilim, çünkü karmaşık eşlenik için biraz genellemeye ihtiyacınız olacak). Normlu bir alan$k$ normla donatılmış bir alandır $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ öyle ki

  • $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
  • $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
  • $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Senin alanın $k$ ayrı bir değerlemesi var $\nu$ tanımlayarak bir norm oluşturabileceğinizi $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ herhangi bir pozitif için $a$...

Her halükarda, Bourbaki'nin size en genel tanımı sağlayacağına eminim.

Ve norm haritasının uyması gereken koşulu gevşetmek istiyorsanız $\mathbb{R}_{\ge0}$, Bence bunu yapmanın da bir yolu var ve sadece bir tür tamamen düzenli yarı devrelerle eşleştirsin ...