Öklid yayıcısını elde etmek için Klein-Gordon yayıcısının integral ifadesindeki konturu neden deforme edebilirsiniz?
Öklid korelasyon fonksiyonlarının QFT'de kullanımını anlamaya çalışıyorum. Aklıma gelen en basit örnekte nasıl tezahür ettiklerine dair yaşadığım problemleri takip ettim: Klein-Gordon denkleminin iki noktalı yayıcısı. VP Nair (pdf sayfalar 57-58) Klein Gordon denklemi için Feynman propagandası ile başlar,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Daha sonra konturu deforme edebileceğinizi iddia ediyor. $k_0$ integral hayali eksene gider,
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
Bu noktada, Minkowski ve Öklid propagandacıları arasında istediğimiz ilişkiyi elde etmekten uzak bir değişken değişimisiniz. Nair "bu deformasyonda integrandın kutuplarının kesişmesi yoktur" diyor ve şunu görebiliyorum: karmaşık düzlemin sağ üst ve sol alt çeyreği boyunca konturu deforme ediyorsunuz, bu yüzden kutuplardan kaçının. Benim sorunum, sonsuzdaki çeyrek dairesel konturlar ne olacak ? Konturu deforme ettiğinizde uç noktaları sabit bırakmanız gerekir, böylece$k_0$hayali çizgi boyunca ilerlemek için integral, hayali olanın uçlarını kaybolan gerçek çizgiyle birleştiren bir kontura sahip olmalıyız. Ancak, integrandın bir çarpanı olduğundan, hem sağ üst hem de sol alt sınırlarda durum kesinlikle bu olamaz.$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$işaretine bağlı olarak $x_0$En sapmak olacaktır ya büyük pozitif hayali$k_0$ veya büyük negatif hayali $k_0$?
Aynı problemde biraz farklı bir sürüş yolu var. Nair ilişkiye gelir
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
Öklid yayıcısının tanımlandığı yer
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Buradaki mesele şudur ki, hayali değerleri koyarsanız $x_4-y_4$ tanımlayıcı integrale girdikten sonra üstel bir diverjans elde edersiniz $k_4$ integral, dolayısıyla sonuç kötü tanımlanmıştır.
Peki burada neler oluyor? Apaçık bir şeyi mi kaçırıyorum yoksa Nair korkunç bir el sallama mı yapıyor? Ve eğer ikincisi ise, bana Osterwalder ve Schrader makalesi kadar matematiksel olarak teknik açıdan oldukça teknik olmayan Öklid ve Minkowski korelasyon fonksiyonları arasındaki ilişkinin ele alınış yönünü gösterebilir misiniz ? (Başka bir yerde referans olarak bulabildiğim tek şey bu!) İlişkiyi daha karmaşık ve genel durumlarda bulmaya çalıştığımda - örneğin yol integrali olarak ifade edilen bölüm işlevine bakarak - sanırım tökezledim Az ya da çok aynı problemde, üstel faktörün bu ayrışması üzerine, bu yüzden, KG propagatörünün bu türevini alırsam, geri kalanının yerine oturması gerektiğini hissediyorum.
Yanıtlar
Bu, Nair'in yazdığı şekilde belki biraz belirsizdir, ancak her iki değişikliği de yapmanız çok önemlidir.$k_0=ik_4$ ve $x^0=ix^4$eşzamanlı. Bu, orijinal integralin yakınsama özelliklerini sağlam tutar.
Nair'in konvansiyonunda ek bir işaret olduğuna dikkat edin, çünkü zaman benzeri niceliklerden uzay benzeri niceliklere değişiyor, bu daha sonra vektör çarpımında farklı bir işaret alıyor. $k\cdot x$. Bunun yerine yapabilirdin$k_0\to ik_0$ ve $x^0\to -ix^0$, onları zaman benzeri miktarlar olarak bırakıyor. Bu şekilde yaparsanız, sadece atama yaptığınız açıktır.$k_0$ ve $x^0$eşit ama zıt fazlar. Dolu yerine$\pi/2$herhangi bir aşamayı kullanabilirdin $k_0\to e^{i\theta}k_0$ ve $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ ve açık ki ürün $k_0 x^0$ değişmedi.
Nair bunu kapsıyor mu bilmiyorum, ancak zaman koordinatına bu hayali bir bölümün eklenmesi pertürbasyon teorisinde fiziksel bir öneme sahiptir. Üniter olmayan evrimi tanıtır çünkü evrim operatörü$e^{-i\hat H x^0}$ artık üniter değil ise $x^0$hayali bir bölümü var. Bu üniter olmayan evrim, serbest boşluktan etkileşen boşluğu otomatik olarak yansıtmanıza izin verir, böylece serbest teorinin bileşenlerini kullanarak etkileşimli teorideki miktarlara tedirgin edici yaklaşımlar oluşturmanıza izin verir. Ayrıntıları bu cevapta yazmaya çalışmayacağım, ancak bunlar Peskin & Schroder Bölüm 4'te, özellikle 86-87 ve 95. sayfalarda anlatılıyor.
Kullanıcı kaylimekay'ın cevabı tam olarak doğru, iç ürün $k_{\mu} x^{\mu}$prensipte bir Wick dönüşü altında değişmez kalmalıdır , cf. örneğin Phys.SE cevaplarım burada , burada ve burada .
Maalesef dönüşüm kuralı $x^0=ix^4$ Ref.1'de standart Wick dönüşümünün tam tersi $x^4=ix^0$, cf. örneğin bu Phys.SE gönderisi.
Ref. 1 kullanır$(+,-,-,-)$Minkowski imzalama konvansiyonu, cf. Phys.SE cevabım burada .
Referanslar:
- VP Nair QFT: Modern Bir Bakış Açısı , 2004; Bölüm 4, s. 43-46, eşd. (4.13-19).
Bunun yolu $G(x,y)$ karmaşık sayılar için kullanılmak üzere hazırlanmıştır $x_0,y_0$ ters Laplace dönüşümü kullanmaktır (ters Fourier dönüşümü yerine) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ üs kısmının içerdiği yer $-k_0(x_0-y_0)$Laplace dönüşümünde görüldüğü gibi. Bu şekilde kötü bir sapma olmamalıdır. Aslında, integral her zaman ters Laplace dönüşümünde kaydırılabilir.$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ Muhtemelen Klein-Gordon'un çekirdeğini kullanalım ve ne bulabileceğimize bakalım demek gibi.
Görünüşe göre değiştirme $k_0\leftarrow -ik_0$ yukarıdaki denklemde $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$Öklid yayıcısı olan. Bu, en azından benim hissettiğim şey, Wick'in dönüşünün nasıl yapılması gerektiğiydi.