Özyinelemeyi diferansiyel denklem ile analoji ile çözme

Question

Bu problemle karşılaştım:

---

Let dizisi $u_n$ ilk terimi ile tanımlanmak $u_0 > 0$ ve $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Asimptotik bir formül bulun $u_n$.

---

Denklem ile analoji yaparak çözebileceğimizi düşündüm $$f' = \frac{1}{f}$$ asimptotik formülü veren $u_n \sim \sqrt{2 n}$ve bu gerçekten doğru cevap.

Daha genel olarak, $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, sürekli, pozitif, azalan bir fonksiyonun koşulları ne olurdu $f$ öyle ki diferansiyel denklemle analoji yöntemi doğru asimptotik formülü veriyor?

Çok teşekkürler !

Answer 1

Aşağıdaki yorumda belirtildiği gibi, bu cevap yanlıştır

---

Farz et ki $y$ diferansiyel denklem için bir çözümdür $y' = f(y)$, ve $u_n$ yinelemeyi çözer $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ ile $u_0 = y(0)$. Ortalama değer teoremine göre, bunu herkes için buluyoruz$n$var bir $c \in [n,n+1]$ hangisi için $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Çünkü $f$ azalıyor, biz var $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Şimdi varsayalım ki $w_n$ tatmin eder $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, ve $w_0 = y(1)$. Endüktif olarak buluyoruz ki$u_n \leq y(n) \leq w_n$. Özellikle, eşitsizliğin geçerli olması durumunda$n = k$, sonra $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ ve eşitsizlik $y(k+1) \geq u_{k+1}$ benzer şekilde görülebilir.

Bununla şu sonuca varabiliriz: eğer $f$ öyle mi ki tekrarlama $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ herkes için aynı asimptotiklere sahiptir $u_0 > 0$, ardından dizinin asimptotikleri $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ bir çözümden oluşturuldu $y' = f(y)$ ile $y(0) > 0$ aynıdır.