Paralel Çizgilerin İzdüşümlü Geometride Nasıl Buluştuğunu Sezgisel Anlama
Projektif Geometri Paralel Çizgiler Buluşması'nda bahsedildiği Topoloji üzerine bir ders izliyorum . Bunun nasıl mümkün olabileceğine dair sezgisel bir fikirle ilgileniyorum. Projektif geometride, sonsuzda paralel çizgilerin, sonsuza sapan herhangi bir dizinin sonsuzda aynı olduğunu varsaydığımız gibi bir varsayımda bulunuyor muyuz?
Yanıtlar
Paralel hatların nasıl kesişeceğine dair sezgisel bir fikir sorduğunuz için, demiryolu raylarının (paralel olan) ufukta buluştuğu ortak gözlemi düşünün. Elbette, dünyanın bir uçak olmadığını ve güçlü bir teleskopun gerçekten karşılaşmadıklarını göstereceğini biliyorsunuz. Ama dünyanın düz sonsuz bir düzlem olduğunu varsayalım. İzler ufukta buluşuyor mu yoksa değil mi?
Projektif geometride izin verilen dönüşümlere projektif dönüşümler denir . Çizgileri çizgilerle eşleyen düzlemin önyargılarıdır. Eşdoğrusal olmayan diğer dört noktayla eşleşen dört doğrusal olmayan nokta, bir yansıtmalı dönüşümü benzersiz bir şekilde belirler. Eğer varsa projektif dönüşümler ile oynamak onlar perspektiften değişiklikler gibi hissediyorum olduğunu göreceksiniz.
Sonsuz bir düzlemde demiryolu raylarına geri dönersek, yukarıdan bakan A perspektifini ve ufukta birleştiklerini gören B perspektifini düşünün (çizgi $h$). Projektif bir dönüşüm var$T$ A perspektifini B perspektifine götürür. $T^{-1}$, Hangisi alır $B$ -e $A$. Çizgiler çizgilere gittiğinden$T^{-1}(h)$? Ufuk "sonsuzda" olduğu için,$T^{-1}(h)$sonlu bir çizgi olamaz. Bu "sonsuzluktaki çizgi" dir$l_{\infty}$"sonsuzluktaki noktalardan" oluşan ve yön olarak düşünülebilecek bir çizgi olan (farz edin ki farklı yönlerde giden iki demiryolunuz var. Ufukta farklı noktalarda buluşacaklar). Ayrıca,$T(l_{\infty})=h$, yani $T$ görüntüleme şekli $l_{\infty}$ görünür bir çizgi olarak.
Satırı eklemek $l_{\infty}$ uçağa biraz eklemek gibi $i=\sqrt{-1}$ -e $\mathbb R$karmaşık sayıları elde etmek için. Her iki durumda da bize hayali ve soyut bir şey ekliyoruz, ancak karşılığında daha tutarlı ve eksiksiz bir matematiksel çerçeve elde ediyoruz.
Yani evet, projektif geometride demiryolu rayları (yukarıdan paralel çizgiler olarak görüldüğü gibi) bir noktada buluşuyor $l_{\infty}$. İşte bu yüzden projektif geometride "paralel" kavramı yoktur.
Bir yorumdaki soruya cevap (Ama doğası gereği veya gerçekte çizgiler hala paraleldir, değil mi?): Yansıtmalı geometrinin zihniyeti, sadece çizgiler ve noktalar olmasıdır. Mesafe ve açı gibi metrik bilgi yoktur. Öte yandan, olayları görselleştirmemize yardımcı olması için Öklid düzlemini başlangıç modeli olarak kullanma eğilimindeyiz. Bu yararlıdır, ancak metrik kavramlarımızı bırakmalıyız ve "paralel çizgiler asla buluşmaz" ifadesi artık doğru değildir çünkü yerine "iki çizginin bir noktada buluşması" aksiyomu gelmiştir. Öyleyse Öklid düzlemi, neler olup bittiğini hayal etmek için bir tür eğitim çarkıdır. Hayali numaraları ile analoji "i" genişler C R, çünkü sadece ima burada, ama yansıtmalı geometri "paralel çizgiler karşılamayan" ile bir ikame "iki farklı hat yerine" ile. Diğer tarafa gidebilir ve projektif düzlemle başlayabilir ve şeyleri değiştirerek öklid düzlemini elde edebilirsiniz. Paralel aksiyom hiperbolik geometride de değiştirildi, ancak farklı bir şekilde ve Gauss gibi insanlar, paralel aksiyomun "gerçekte doğru" olup olmadığını merak ettiler (gerçek dünyada olduğu gibi) ancak çok tartışmalı oldukları için düşüncelerini kendilerine sakladılar. . Ve küresel geometride iki çizgi (büyük daireler olarak tanımlanır) her zaman buluşur.
Ama sorunuza göre oyunun kurallarına göre oynamak istiyorsanız iki çizginin paralel olduğunu söylemiyorsunuz, $l_{\infty}$. Ve özel bir şey yok$l_{\infty}$. Aslında paralel çizgiler hakkında bir teoreminiz varsa, yansıtmalı bir dönüşüm uygulayarak ve "paralel çizgileri" belirli bir çizgide buluşan "çizgilerle" değiştirerek ücretsiz olarak yeni bir teorem elde edebilirsiniz (örneğin$h$Yine de çizgilerin paralel olduğu konusunda ısrar edebilirsiniz, ancak bu noktada sınırların dışına çıkıyorsunuz ve belirli bir projektif geometri modeli hakkında bir şeyler söylüyorsunuz.
projektif geometride paralel çizgiler buluşuyor
Oksimoronik bir ifadedir.
Söylemek daha doğru
projektif geometride, iki farklı çizgi paralel değildir
Oksimoronik ifadenin ortaya çıkma şekli şu şekildedir: herhangi bir afin düzlemden (tek bir çizginin sayılamayacak kadar çok sayıda paralel uydunun olduğu Öklid düzlemi gibi) yeni bir çizgi oluşturan noktalar ekleyebilir ve projektif bir düzlem oluşturmak için geliş ilişkilerini genişletebilirsiniz. afin düzlemi içeren.
Her eşdeğerlik sınıfı için, o sınıfa karşılık gelen ideal nokta adı verilen yeni bir nokta bildirirsiniz. Sınıftaki tüm çizgiler bir puan uzatılır ve hepsi ortak noktayı paylaşır.