Pauli-X'in sonsuz sayıda karekökünü alabilir misin?
Barenco's Work in Lemma 7.5 ( Kuantum hesaplaması için temel kapılar ) üzerinde sunulan tekrarlayan devreye dayalı bir n-bit Toffoli geçidinin maliyetini bulmaya çalışıyorum
Yapım, Pauli X'in karekökünü yinelemeli olarak almamızı gerektiriyor. Pauli X'in karekökünü mümkün olduğunca çok kez alabileceğimize dair bir kanıt olup olmadığını merak ediyordum.
Yanıtlar
Üniter matrisler, kesirli kuvvetler de dahil olmak üzere herhangi bir güce yükseltilebilir, böylece istediğiniz herhangi bir kökü bulabilirsiniz. Kökü, matrisi oluşturarak, özdeğerleri değiştirerek (onları istenen güce yükselterek) ve ardından matrisi tekrar bir araya getirerek bulabilirsiniz.
Pauli X matrisi durumunda, özvektörler $|+\rangle\langle +|$ ve $|-\rangle\langle -|$ böylece bunun gibi kökleri bulabilirsin:
$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
Bir kez yapıldığında asıl zorluk, $X^s$Bilgisayarınızda bulunan kapı setini kullanarak kapılar. Örneğin, Clifford + T geçit setini kullanıyorsanız, bir dizi H ve T geçidi kullanarak dönüşü yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz .
Çok kontrollü bir NOT gerçekleştirmek için, bağladığınızdan daha verimli ancilla içermeyen yapılar olduğunu unutmayın: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html