Portföy riskindeki kovaryans unsurunun yorumu ve birimleri
Verilen portföy riski $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ nerede $\boldsymbol{\Sigma}$ köşegen elemanları olan kovaryans matrisidir $\sigma^2_{n}$ bireysel varlık getiri varyanslarıdır ve köşegen dışı unsurları varlıkların ikili kovaryanslarıdır, $\sigma_{n,\neg n}$
elementin yorumu nedir $\sigma_{1,2}$ içinde $\boldsymbol{\Sigma}$ve birimlerini nasıl tanımlarsınız?
Eğer $\sigma_{1,2}=0.1$ şunu söylemek doğru olur mu?
"varlık 1 getirisindeki hareketler, ortalama olarak varlık 2 getiri hareketleriyle% 10 standart sapmalarla birlikte değişir ve bunun tersi de geçerlidir"
Yanıtlar
Yorumlama ve birimler problemi, yani kolayca sezgisel bir cevabın olmaması, tam olarak nicel / ekonometristlerin vb. Kovaryanslar hakkında çok fazla konuşmaktan çekinme eğiliminde olmalarıdır [kesinlikle gerekli olsa bile; ve sık kullanılan]. Dolayısıyla, kovaryansları içeren herhangi bir şeyin yorumlanması gerekirse, açıklanmasına izin verilmez, varsayılan genellikle onu sezgisel birimleri olan korelasyon cinsinden ifade etmektir: sınırlı [-1,1] ile 0 = bağımsızlık vb.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Yani buradaki "birimler", her biri kendi birimlerine sahip üç ölçüden oluşan bir ürün karışımıdır: iki değişkenlik ve sınırlı bir ilişkilendirme ölçüsü. Bu nedenle, varlar ancak sezgisel bir açıklamaları yok.
En yakın olanı kovaryansı, Ağırlık 1 ve 2'nin ürünündeki birim değişim başına portföy varyansındaki marjinal bir değişiklik olarak ifade etmektir.
Ayrıca geleneksel OLS beta'nın şu şekilde ifade edilebileceğini hatırlayın:
Beta (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Dolayısıyla, Öğe2'deki +1 değişikliğinin +0.1 bölü Varlık1 üzerindeki varyans etkisine sahiptir. Bu, Asset2'deki +1 sigma hareketinin, Asset1'deki standart sapmasına 0,1 bölü bir değere sahip olduğunu söylemekle aynıdır. Şunu söylemekle aynı şey (burada Z = 1, 1 sigma şokudur):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Dolayısıyla, yukarıda sezgisel olarak yapmaya çalıştığınız türden bir açıklama yapmanın yolu, kovaryanslarınızı (sezgisel) birimsiz korelasyonlara çevirmek için kalır. 1 veya 2'deki bir sigma hareketi, diğerinde marjinal Cor (1,2) sigma etkisine sahip olacaktır.
Bununla birlikte, buna yaklaşırsanız, burada herhangi bir sezgisel açıklayıcı sonuç oluşturmak için kovaryansı her zaman ek bir metrik (mutlak getiriler, hacim ayarlı getiriler veya ağırlıklar olsun kendi birimleriyle) işlemeniz gerekir. Geleneksel w.Cov.w formülasyonu portföy riskini tahmin etmede etkilidir; ama yorumlama ve açıklama söz konusu olduğunda, büyük bir zaman başarısız olur. Bu nedenle yayınlar kaçınılmaz olarak ilişkili korelasyon matrislerini tercihe göre gösterir. İkisi size her zaman aynı çıktıları / tahminleri verecektir; ikisi arasındaki seçim ile nihayetinde bir öngörü ve yorumlama sorusu (yani doğası gereği sunumsal).
Öyleyse, portföyün tamamen konsollardan veya tek dönem iskontolu bonolardan oluştuğunu varsayalım. Bu hisse senetleri için şüpheli olur çünkü$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ ve $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$temettülerin etkisini görmezden gelirseniz. Bu, iki oran dağılımının ürün dağılımını döndürür. CAPM gibi modeller, tüm parametrelerin bilindiğini ve kimsenin herhangi bir tahmin yapmadığını varsayarak bu sorundan kaçarlar. Hafif varsayımlar altında, bu geri dönüşler, log uzayında bile tanımlanmış bir kovaryans matrisine sahip olmayacaktır.
Bununla birlikte, sorunuzla ilgili olarak, aşağıdaki gibi parametrelerin hatırlanması önemlidir. $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$Frekanscı teoride sabit noktalar olarak düşünülür. CAPM gibi modeller Bayes uzayında çalışmaz çünkü parametreler rastgele değişkenlerdir.
Yani, sorunuza yanıt olarak, aşağıdaki birimler $\sigma_{i,j}$ortak beklentiden yönlü olarak işaretlenmiş kare fazlalık / açık getirileri içindedir. Yönlü bir alan olarak düşünülebilir.
Olağan yorumlama her zaman varyansa göre ölçeklenir. $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: Biraz daha okudum ve şöyle devam ediyor. (CAPM ile ilgili olarak bundan bahsetmemek veya Dave ile olan mevcut tartışmanız hakkında yorum yapmamak). Varsayalım ki$\sigma_{(1,2)}$ bu, hisse senedi 1 ve hisse senedi 2'nin (getirilerin) kovaryansını gösterir. $x$ Stok 1'in getirileri (örnekte) ve $y$ Stokun getirileri (örnekte) olarak 2.
Yorumlamaya giden ilk adım, $\sigma_{(1,2)}$ ve hisse senedi getirilerinin örnek varyansına bölün. $\beta_{(1,2)}$. Sonra, bunu yaptıktan sonra,$\beta_{(1,2)}$ Hisse senedi 1'in getirilerinin basit bir regresyon katsayısı (kesişme değil) olarak, hisse senedi 2'nin getirilerinin yanıt olduğu hisse senedi_2 hisse senedi getirilerinin katsayısı olarak yorumlanabilir ($y$) ve hisse senedi 1'in getirileri tahmin edicidir ($x$).
Gerçeği $\sigma_{(1,2)}$0,1 değeri gerçekten pek bir şey ifade etmiyor çünkü açıklanan regresyon yorumlamasına sahip olması için stok 1'in hisse senedi getirilerinin örnek varyansına bölünmesi gerekiyor. Tabii ki, stok 1'in getirilerinin örnek varyansı 1.0 ise, kovaryans, stok 1'in getirisindeki her birim artış için stok 2'nin getirisinin arttığı tahmini miktar olarak yorumlanabilir.
Orijinal yazımda bahsettiğim (kafamı karıştıran) görünen çelişkinin var olmadığını unutmayın, çünkü regresyonu tersine çevirirsek ve hisse senedi 1'in döndürmesini (x) yanıt ve stok 2'nin (y) öngörücüyü döndürürse kovaryansı bölmek gerekecek, $\sigma_{(1,2)}$Stok 1'in getirilerinin (x) örnek varyansı yerine stok 2'nin getirilerinin (y) örnek varyansı ile. Yani tanımda herhangi bir tutarsızlık yok. Umarım bu işleri açıklığa kavuşturur.
Oh, ayrıca, söyleyebileceğim kadarıyla, yanlışlıkla durumun böyle olduğunu düşündüğüm regresyonun kovaryansı ile R ^ 2 arasında herhangi bir ilişki yok gibi görünüyor. Buradaki karışıklık için özür dilerim.