Ramanujan'ın Üstat Teoreminin tersi de doğru mu?
Ramunajan'ın Master Teoremi , karmaşık değerli bir fonksiyonun$f(x)$ formun genişlemesi var
$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$
Daha sonra Mellin dönüşümü arasında$f(x)$ tarafından verilir
$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$
Buraya $\varphi(s)$ bir işlevdir (analitik veya entegre edilebilir diyelim).
Şimdi, bunun tersi ne olacak? Mellin dönüşümünün bildiğimizi söyleyin.$f(x)$ eşittir $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$, o zaman doğru mu $f(x)$ yukarıda verilen formda sonsuz bir genişleme var mı?
Wikipedia'da veya başka bir yerde bu soru hakkında hiçbir şey bulamadım.
Yanıtlar
Master Teoremi ile kısmi bir sohbet için, eğer $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ sonra $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ Kutupları $\Gamma$ basittir ve pozitif olmayan tam sayılardır, dolayısıyla bir tam sayıdaki kalıntı $-t\le0$ dır-dir $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ Böylece eğer $\varphi$ tekillikleri yoktur ve pozitif olmayan tam sayılarda kökleri yoktur, sonra kalıntı teoremi verir $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ orijinal ifade budur.
Berndt'in Ramanujan'ın Üç Aylık Raporlarında 1 ,
İlk raporun son bölümünde, Ramanujan , Ana Teorem için bir tür ters teoremin geçerli olduğunu varsayarak dört fonksiyon için belirli açılımlar elde eder. Daha spesifik olarak, integralin değerinden integrand için bir kuvvet serisi belirler. Aslında, Ramanujan'ın Üstat Teoremi ile tersi, Mellin dönüşümleri için ters çevirme formülünden gelir. Ramanujan resmen ilerlemesine rağmen, elde ettiği tüm sonuçlar gerçekten doğrudur.
(vurgu benim)
Dikkate alınan dört işlev şunlardır:
$\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ nerede $p_*$ pozitif kökü $p^2-p-x$, veren $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;
$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$, veren $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;
$\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ nerede $a\ge0$, $n>0$ ve $x$ çözer $\log x=ax$, veren $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;
$\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ nerede $x$ çözer $aqx^p+x^q=1$ ile $a>0$, $0<q<p$ ve $0<pr<n$, veren $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$.
Belli ki tüm bu durumlarda $\varphi$ tüm sol düzlemde analitik değildir, ancak gama terimlerinin iptal edildiğinden şüpheleniyorum $\Gamma(-s)$ kimliğin hala geçerli olmasının nedeni olabilir.
Referans
[1] Berndt, BC (1984). Ramanujan'ın Üç Aylık Raporları. Londra Matematik Derneği Bülteni . 16 (5): 449-489.