Rastgele iki valf çekildiğinde en az bir valfin arızalı olma olasılığını bulun.

Question

Sorun bildirimi:

• A fabrikası $10\ \%$ arızalı valfler
• ve başka bir fabrika $B$ üretir $\mbox{$20 \ \%$}$ arızalı valfler.
• Bir çanta şunları içerir: $4$ fabrika vanaları $A$ ve $5$ B fabrikasının vanaları
• Torbadan rastgele iki valf çekilirse, en az bir valfın arızalı olma olasılığını bulun .

Bu soru burada bir kez soruldu. En az bir valfın arızalı olma olasılığını bulun.

Şimdi, açık bir şekilde en az bir arızalı valf çekme olasılığı) = 1- Çizilen her iki valfın arızalı olmayan valfler
olma olasılığı Bunu kullanarak, gerekli olasılık$ =1-\left(\frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}}(0.9)^2+\frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}}(0.8)^2+\frac{\binom{4}{1}\binom{5}{1}}{\binom{9}{2}}(0.9)(0.8)\right)=\frac{517}{1800}, \label{1}\tag{1} $ OP de yukarıdaki bağlantılı gönderide gösterdiği gibi.

Ancak, karışıklığın ortaya çıktığı yer burasıdır:
Alternatif olarak, aşağıdaki birbirini dışlayan olayları ele alalım:

1. Her iki valf de arızalı ve fabrikadan $A$
2. Her iki valf de arızalı ve fabrikadan $B$
3. Her iki valf de arızalı (biri $A$ ve diğeri $B$)
4. Bir valf $A$ ve kusurlu, diğeri ise $B$ ve kusurlu değildir.
5. Bir valf $B$ ve kusurlu, diğeri ise $A$ ve kusurlu değildir.
   

Şimdi gerekli olasılık = Yukarıda listelenen birbirini dışlayan olayların tüm olasılıklarının toplamı.
Yukarıda listelenen i'inci olayın olasılığını gösterelim:$P(i)$, nerede $i=1,2,3,4,5$
$P(1)=\frac{^4C_2}{^9C_2}(0.1)^2\;\;,P(2)=\frac{^5C_2}{^9C_2}(0.2)^2\;\;,P(3)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.2)\;\;$
$P(4)=\frac{^4C_1\times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.8)\;\; ,P(5)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.9)(0.2)\;\;$
Bu nedenle, gerekli olasılık $$P=\sum_{i=1}^{5}P(i)=1/600+1/90+1/90+2/45+1/10=303/1800 \label{2}\tag{2}$$

Yukarıdaki (\ ref {1}) ve (\ ref {2}) cevaplarının neden farklı olduğunu bilmek istiyorum . Nitekim yukarıdaki bağlantıda OP, kitabında verdiği cevabın$303/1800$oysa o gönderiye yapılan yorum ve cevaplar yanıtı yanlış olarak belirtmiştir. Fakat$(2)$cevapta yanlış bir şey olmadığını açıkça gösteriyor. Lütfen yardım et. Teşekkürler.

Answer 1

Hata, kaçırdığınız iki durumdan kaynaklanır:

• Her iki valf de $A$ ve tam olarak biri kusurlu
• Her iki valf de $B$ ve tam olarak biri kusurlu

Bu olaylardan birinin gerçekleşme olasılığı $$ \frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.1 \times 0.9 \times 2 + \frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.2 \times 0.8 \times 2 = \frac{54+160}{1800} = \frac{214}{1800} = \frac{517}{1800} - \frac{303}{1800} \,.$$

OP'nin cevabı doğru.