Sonlu alanların benzersizliği $p^n$elementler. [çiftleme]

Dec 25 2020

Sadece bir sonlu alanın olduğu iyi bilinmektedir. $p^n$ elemanlar, izomorfizme kadar, nerede $p$ bir asal ve $n \geq 1$.

İzin Vermek $n = m t$, nerede $m, t > 1$.

Sonra $F = Z_p[X]/(f(X))$ ile bir alandır $p^n$ sağlanan öğeler $f$ indirgenemez bir derece polinomudur $n$ içinde $Z_p$.

Aynı şekilde, $G = Z_p[X]/(g(X))$ ile bir alandır $m$ elementler ($g$ derecesi indirgenemez $m$). Sonra$G$ vardır $p^m$ elementler.

Sonunda izin ver: $H = G[X]/(h(X))$ nerede $h$ indirgenemez bir derece polinomudur $t$ katsayılarla $G$.

Şimdi anladığım kadarıyla $F$ ve $H$ ikisine de sahip $p^n$elementler. Yani sorum şu:

Are $F$ ve $H$ izomorfik?

Yanıtlar

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

Bu, alanları bölmekle ilgili genel bir gerçeğe dayanır.

İzin Vermek $F$ tarla ol ve $f(X)\in F[X]$monik bir polinom olabilir. Bir uzantı alanı$K$ nın-nin $F$Bir olan bölme alan için$f$ Eğer

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ içinde $K[X]$ (köklerin ayrı olması gerekmez);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Teorem. Eğer$K_1$ ve $K_2$ alanları bölüyorlar $f(X)\in F[X]$, sonra bir alan izomorfizmi var $\varphi\colon K_1\to K_2$ ayrılma $F$ noktasal sabit.

Kanıt uzundur ve Galois teorisi üzerine herhangi bir kitapta bulunabilir, çünkü temel bir araçtır.

Şimdi polinomu düşünün $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, nerede $\mathbb{F}_p$ ... $p$-element alanı (benzersiz izomorfizme kadar benzersizdir).

İzin Vermek $K$ bölme alanı olmak $f(X)$. Sonra$f(X)$ vardır $p^n$ farklı kökler $K$ (çünkü polinomun türevi $-1$). Öte yandan, kökler kümesi$f(X)$ alt alanı $K$: gerçekten, eğer $a,b$ kökler, öyleyse $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ yani $a+b$ kökü $f$. Benzer şekilde$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$ve karşılıklıları kontrol etmek kolaydır. Ayrıca$0$ ve $1$ Bittiğimiz kökler.

Böylece $K$ olduğu tüm köklerinin kümesi$f$ ve bu nedenle $|K|=p^n$.

Tersine, eğer $K$ ile bir alandır $p^n$ öğeler, daha sonra aynı argüman gösteriyor ki $X^{p^n}-X$ vardır $p^n$ farklı kökler $K$, yani $K$ için bölme alanı $f(X)$.

İzomorfizme kadar benzersizlik, şimdi yukarıdaki teoremden geliyor.