Sonlu bir grubun sıralaması ve temsilleri
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$İzin Vermek $G$ sonlu bir grup olmak ve $C=\Rep(G)$ karmaşık sonlu boyutlu temsillerin tek boyutlu kategorisi olabilir $G$. Gibi$C$ sonlu ve yarı basittir, tüm temsiller $\oplus$ ve sonlu bir küme $I$indirgenemez temsiller. Klasik karakter teorisine göre, aralarında (kanonik olmayan) bir eşleşme vardır.$I$ ve $\mathrm{Conj}(G)$. Bu yazıda, eğer varsa, her iki taraf arasında bir önyargıyı anlamayı umuyorum$\otimes$.
Daha kesin olmak gerekirse $V$ indirgenemez ve sadık bir temsili olmak $G$. Daha sonra her gösterim, bir alt modül olarak gerçekleşir.$V^{\otimes n}$ bazı $n$( bu ve buna bakın ) ve tam tersi! Sonra bunu söyleriz$V$ kendisi üretir $C$ altında $\otimes$ve Cauchy tamamlama. Bununla birlikte, her grubun indirgenemez ve sadık bir temsili yoktur. Aynı gönderide , bunun büyük ölçüde toplumunun "sıralaması" ile ilgili olduğunu görebiliriz.$G$.
Özetlemek gerekirse, sıralamayı tanımlayın, $\rank(G)$, oluşturmak için gereken minimum öğe sayısı olacak $\mathrm{socle}(G)$konjugasyon altında. Rütbeyi tanımlayın,$\rank(C)$, oluşturmak için gereken minimum indirgenemez öğe sayısı $C$ altında $\otimes$ve Cauchy tamamlama. Sonra
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Soru
Bu denklik genelleşir mi
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
her doğal sayı için $n$?
( DÜZENLE Qiaochu'nun yorumda işaret ettiği gibi, bu Pontrjagin dualitesi tarafından sonlu değişmeli gruplar için geçerlidir.)
Yanıtlar
Sorunuzun cevabı evet ve makalenin ana teoremi mud, È. M. Sonlu grupların izomorfik doğrusal gösterimleri hakkında. Mat. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Teorem 5'te, Sonlu Grupların Karakterleri sayfa 245'te bulunabilir. Bölüm 1. Berkovich ve Žmudʹ. Teorem farklı ama eşdeğer bir şekilde ifade edilmiş ve Gaschutz'un teoremine çok benzer bir şekilde kanıtlanmıştır.
Žmudʹ teoremi şunu söylüyor: $G$ ile sadık bir temsile sahiptir $k$ indirgenemez bileşenler ancak ve ancak $G$ en fazla normal bir alt grup olarak oluşturulabilir $k$elementler. Özellikle, en az sayıda normal jeneratör$\mathrm{socle}(G)$ bazı sadık temsillerde indirgenemez bileşenlerin en az sayısı ile çakışır. $G$.
Şimdi gözlemlemek yeterli $\mathrm{rank}(C)$ tam olarak asgari indirgenemez bileşen sayısıdır. $G$. Gerçekten, eğer$V$ herhangi bir sadık temsil ise, Burnside teoremi (veya R. Steinberg'in genellemesi), her indirgenemez modülün tensör gücünün doğrudan bir özeti olduğunu gösterir. $V$ ve böylece indirgenemez bileşenleri $V$ oluşturmak $C$tensör çarpımı altında, direkt toplamlar ve direkt zirveler alma. Öte yandan, eğer$\rho_1,\ldots, \rho_k$ indirgenemez temsiller olup, doğrudan toplamı güvenilir değildir, o zaman $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ doğrudan toplam, tensör çarpımı ve doğrudan toplamlar alma işlemleri altında ilgili basit modüller tarafından oluşturulan alt kategorideki tüm modüller üzerinde kimlik görevi görür ve bu nedenle bu indirgenemez temsiller üretilemez $C$.
Böylece $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$