Sonlu boyutlu C * -alebraların karakterizasyonu?
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$İzin Vermek $A$ sonlu boyutlu ol $*$-algebra bitti $\mathbb C$.
(Yani, bir evrim ile donatılmış bir ilişkili cebir$*:A\to A$ doyurucu $(ab)^*=b^*a^*$ ve $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)
Varsayalım ki $\forall a\in A$ sahibiz $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
Onu takip ediyor mu$A$ C * -algebra mı?
Burada spektrum $\Spec(x)$ bir elementin $x$ skaler kümesidir $\lambda\in \mathbb C$ öyle ki $x-\lambda$ tersinir değildir.
Yanıtlar
İzin Vermek $V$dahil edici bir anti-lineer yıldız işlemi ile donatılmış karmaşık bir vektör uzayı olabilir (örneğin, çarpımı unutulmuş bir C * - cebiri). Donatmak$V$ özdeş sıfır çarpma ile, yani $xy=0$ hepsi için $x$ ve $y$ içinde $V$. Sonra birleştirme$V$bir karşı örnektir. Aslında her unsur$a$ nın-nin $V$ üstelsıfırdır yani $\text{spec}(a) = \{0\}$. Sonuç olarak, formun herhangi bir öğesinin spektrumu$a-\lambda$ dır-dir $\lambda$ gerekli koşulu kolayca kontrol eden yerden.
ancak $a^*a=0$ her biri için $a$ içinde $V$, yani $\tilde V$ muhtemelen bir C * -algebra olamaz.