Sonsuz kümeler için toplama sürecini genelleme
Bugün kendimi tüm tam sayıların toplamını merak ederken buldum $\mathbb Z$.
Biz biliyoruz ki $\mathbb Z$ sayılabilir bir kümedir, Bu, tüm öğeleri listeleyebileceğimiz anlamına gelir. $\mathbb Z$Böylece problemi toplamları kullanarak çözebiliriz:
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
Yani tüm tam sayıların toplamının 0 olduğunu görüyoruz. Aynı argümana göre, tüm rasyonel sayıların toplamı $\mathbb Q$ ayrıca 0'dır.
İlk sorum şu: Bu argüman geçerli ve doğru mu?
Sonra merak ediyorum: O zaman tüm gerçek sayıların toplamı nedir $\mathbb R$?
Aksine $\Bbb Z$ ve $\Bbb Q$, set $\Bbb R$sayılamaz. Bu, numaralarını listelemenin imkansız olduğu anlamına gelir.$\Bbb R$ve dolayısıyla tüm sayıları bir toplam kullanarak toplamak imkansızdır. Aklıma gelen ilk şey integrallerdi. Bazen integralleri toplamanın sürekli versiyonu gibi düşünme eğilimindeyim. Yani tüm gerçek sayıların toplamını şu şekilde ifade edebiliriz:
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
Bu, sayılamayan kümelerin tüm öğelerini toplamamızı sağlar. Örneğin tüm unsurların$(0,1)$, bu yöntemi kullanmak:
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
İkinci sorum şu: Bu genelleme doğru mu?
Üçüncü sorum, bu yöntemin doğru olduğunu varsayarak, tüm irrasyonel sayıların toplamını hesaplamaya çalıştığımda ortaya çıkıyor. Yöntem doğruysa, tüm irrasyonel sayıların toplamı şöyle olacaktır:
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
Ama integrali nasıl değerlendireceğimi bilmiyorum çünkü (Söyleyeceğim şey için doğru matematiksel terimi bilmiyorum, bu yüzden çok sert gelmiyorsa özür dilerim) İçinde "Delikler" var. Her 2 irrasyonel sayı arasında bir rasyonel sayı vardır!
Bir fonksiyonu entegre etmeye çalışırsak $(0,1) \cup (2,3)$ bunda da bir delik var, ancak integrali ikiye bölebiliriz: bir üzeri $(0,1)$ ve diğeri bitti $(2,3)$. Bunu integral over'mizde kullanmaya çalışırsak$\mathbb I$ biz alırdık:
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
Ancak bununla ilgili iki sorunumuz var:
İlk olarak, bu integral bir noktanın integralidir ve bu da sıfırdır. Bu ideal değildir çünkü sayılamayan herhangi bir kümenin toplamının her zaman sıfır olacağı anlamına gelir.
Burada normal bir toplam kullanamayız çünkü yine küme $\Bbb I$ sayılamaz.
Yani, integrallerle genelleştirerek normal toplamadan kaçınmaya çalışıyoruz, ama sonra tekrar ortaya çıkıyor!
Öyleyse üçüncü ve son sorum şu: Genellemem doğru olmasa bile, bu integrali değerlendirmek mümkün müdür?
Yanıtlar
Bu tür sahte spekülasyonlar, aşağıdakiler gibi çeşitli yanıtlar verir: $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = -$\infty$