Sonsuz kümeler için toplama sürecini genelleme

Aug 16 2020

Bugün kendimi tüm tam sayıların toplamını merak ederken buldum $\mathbb Z$.

Biz biliyoruz ki $\mathbb Z$ sayılabilir bir kümedir, Bu, tüm öğeleri listeleyebileceğimiz anlamına gelir. $\mathbb Z$Böylece problemi toplamları kullanarak çözebiliriz:

$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$

Yani tüm tam sayıların toplamının 0 olduğunu görüyoruz. Aynı argümana göre, tüm rasyonel sayıların toplamı $\mathbb Q$ ayrıca 0'dır.

İlk sorum şu: Bu argüman geçerli ve doğru mu?


Sonra merak ediyorum: O zaman tüm gerçek sayıların toplamı nedir $\mathbb R$?

Aksine $\Bbb Z$ ve $\Bbb Q$, set $\Bbb R$sayılamaz. Bu, numaralarını listelemenin imkansız olduğu anlamına gelir.$\Bbb R$ve dolayısıyla tüm sayıları bir toplam kullanarak toplamak imkansızdır. Aklıma gelen ilk şey integrallerdi. Bazen integralleri toplamanın sürekli versiyonu gibi düşünme eğilimindeyim. Yani tüm gerçek sayıların toplamını şu şekilde ifade edebiliriz:

$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$

Bu, sayılamayan kümelerin tüm öğelerini toplamamızı sağlar. Örneğin tüm unsurların$(0,1)$, bu yöntemi kullanmak:

$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$

İkinci sorum şu: Bu genelleme doğru mu?


Üçüncü sorum, bu yöntemin doğru olduğunu varsayarak, tüm irrasyonel sayıların toplamını hesaplamaya çalıştığımda ortaya çıkıyor. Yöntem doğruysa, tüm irrasyonel sayıların toplamı şöyle olacaktır:

$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$

Ama integrali nasıl değerlendireceğimi bilmiyorum çünkü (Söyleyeceğim şey için doğru matematiksel terimi bilmiyorum, bu yüzden çok sert gelmiyorsa özür dilerim) İçinde "Delikler" var. Her 2 irrasyonel sayı arasında bir rasyonel sayı vardır!

Bir fonksiyonu entegre etmeye çalışırsak $(0,1) \cup (2,3)$ bunda da bir delik var, ancak integrali ikiye bölebiliriz: bir üzeri $(0,1)$ ve diğeri bitti $(2,3)$. Bunu integral over'mizde kullanmaya çalışırsak$\mathbb I$ biz alırdık:

$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$

Ancak bununla ilgili iki sorunumuz var:

  • İlk olarak, bu integral bir noktanın integralidir ve bu da sıfırdır. Bu ideal değildir çünkü sayılamayan herhangi bir kümenin toplamının her zaman sıfır olacağı anlamına gelir.

  • Burada normal bir toplam kullanamayız çünkü yine küme $\Bbb I$ sayılamaz.

Yani, integrallerle genelleştirerek normal toplamadan kaçınmaya çalışıyoruz, ama sonra tekrar ortaya çıkıyor!

Öyleyse üçüncü ve son sorum şu: Genellemem doğru olmasa bile, bu integrali değerlendirmek mümkün müdür?

Yanıtlar

WilliamElliot Aug 17 2020 at 00:38

Bu tür sahte spekülasyonlar, aşağıdakiler gibi çeşitli yanıtlar verir: $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = -$\infty$