Sürekliliğinin kanıtı $\sqrt{x}$ - hatam nerede?

Question

Bunu kanıtlamaya çalışıyorum $f(x) = \sqrt{x}$ sürekli $[0, \infty)$. Şimdiye kadar sahip olduğum şeyler:

Düşünmek $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

Bu miktarı pozitif sayı ile çarpalım $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. Sonra,$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

Hadi seçelim $\delta=\epsilon$. Şimdi sahibiz$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ Ne zaman $|x-x_0|<\delta$. Bana sorarsanız kanıtlanmış görünüyor, ancak okuduğuma göre, süreklilik modülü$\sqrt{x}$ dır-dir $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. Bu beni bir yerde bir hata yaptığım sonucuna götürüyor, ancak bulamıyorum. (Bahse girerim aptalca bir detaydır)

Şimdiden teşekkür ederim!

Answer 1

İpucu:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

ve bilirsin $\;\sqrt x\ge 0\;$ hepsi için $\;x\in[0,\infty)\;$ , yani $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...