Tanımı bilmenize rağmen semantik sonucu kullanan ifadeleri anlamakta güçlük çekmek
Sağ taraf doğruysa, soldaki tüm ifadelerin tümünün doğru (tatmin edici) olabileceği anlamına gelen anlamsal sonucu biliyorum. Sağ taraf yanlışsa, soldaki ifadelerin tümü doğru olamaz.
Bana sorun çıkaran birkaç ifade var.
İlk: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ İff'in solundan başlarsam, ifadelerin hepsi bir anlam ifade eder.
Sorun, iff'in sağ tarafıyla başladığımda ve $\Gamma$ doğru, $\phi$ yanlıştır ve $\psi$doğru. Bu meşru bir ifade, ancak tüm ifadenin yanlış olduğunu kanıtlıyor.
İkinci: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$sol taraf yanlış olmasına rağmen doğru olabilir. Bunun imkansız olduğunu sanıyordum.
Üçüncü:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Eğer $\Delta$ kabul edilemez ve $\phi$ doğrudur, if bölümü doğrudur ve sonraki bölümü yanlıştır.
Bu sorunla karşılaşmaya devam edersem kesinlikle bir şeyi yanlış anlıyorum.
Yanıtlar
Sağ taraf doğruysa, soldaki tüm ifadelerin tümünün doğru (tatmin edici) olabileceği anlamına gelen anlamsal sonucu biliyorum.
Hayır, anlamı bu değil. Bu tam tersi: Sol taraftaki tüm ifadeler doğruysa sağ taraf doğrudur. Şimdi, anlamsal sonucun tanımı, herhangi bir yorumlama altında, ya RHS'nin doğru olduğu ya da LHS'deki en az bir ifadenin yanlış olduğu şeklindedir. Sağ taraf ise LHS'nin doğru olması gerekli değildir!
Belki de olumsuzdan görmek daha kolaydır: Olmaması gereken tek şey, LHS'deki tüm ifadelerin doğru olması, ancak RHS'nin eşzamanlı olarak yanlış olmasıdır. Bazı yorumlara göre, RHS doğruysa, ancak LHS değilse, sorun değil. Bu, özellikle, eğer LHS hiçbir zaman eşzamanlı olarak doğru olamazsa (= tatmin edici değilse), o zaman böyle bir karşı yorum olamayacağı ve sonuç boş bir şekilde geçerli olduğu anlamına gelir.
(Ayrıca son paragraftaki tatmin edilebilirlik (değil) hakkındaki nota bakın; buradaki kullanımınız bunun ne anlama geldiğinin yanlış anlaşıldığını gösteriyor.)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ İff'in solundan başlarsam, ifadelerin hepsi bir anlam ifade eder.
Sorun, iff'in sağ tarafıyla başladığımda ve $\Gamma$ doğru, $\phi$ yanlıştır ve $\psi$doğru. Bu meşru bir ifade, ancak tüm ifadenin yanlış olduğunu kanıtlıyor.
İfadenin yapısını yanlış yorumluyorsunuz. Hakikat değerlerinin somut bir atamasına bakıyorsunuz ve bu yorumdan, sol ve sağdaki anlamsal sonuçların geçerli olup olmadığını anlamaya çalışıyorsunuz. Ama söylediği bu değil: İfade şu anlama gelir:
[Tüm yorumların altında, aşağıdaki ifadelerden biri $\Gamma, \phi$ yanlış mı yoksa $\psi$doğrudur]
iff
[Tüm yorumların altında,$\Gamma$ yanlış mı yoksa $\phi \to \psi$ doğru].
Yani, önce anlamsal sonuçların geçerli olup olmadığını belirlemek için tüm yorumlara bakmalı ve ardından "eğer ve ancak eğer" yi değerlendirmeliyiz. Sadece bir vakaya baktığımızda$\Gamma$ doğru, $\phi$ yanlış ve $\psi$ true, "iff" ifadesinin her iki tarafının da geçerli olup olmadığı konusunda bir sonuca varmamıza izin vermez.
İkinci: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$sol taraf yanlış olmasına rağmen doğru olabilir. Bunun imkansız olduğunu sanıyordum.
Yukarıya bakın: Bu tam tersi; yalnızca, LHS'nin doğru olmasına rağmen RHS'nin yanlış olmasının mümkün olmaması gerekir. Ve eğer LHS ilk etapta herhangi bir yorum altında gerçek olamazsa, bu asla olamaz.$\bot$, bu yüzden sonuç belirsizdir.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Eğer $\Delta$ kabul edilemez ve $\phi$ doğrudur, if bölümü doğrudur ve sonraki bölümü yanlıştır.
"If" ifadesinden sonra okumayı bırakabilirsiniz. $\Delta$ tatmin edilemez ": O zaman LHS'lerin hiçbiri gerçek olamaz, bu yüzden her iki sonuç da boş bir şekilde geçerli ve" eğer öyleyse "tatmin olur.
Ve sadece terminolojiyi netleştirmek için: "$\Delta$ tatmin edici / tatmin edilemez "ifadesi, tüm ifadelerinin herhangi bir yorum altında aynı anda doğru olmasının mümkün / imkansız olduğu anlamına gelir, yani, $\Delta$çelişkili / çelişkili değildir. Yalnızca belirli bir yorumdaki durum söz konusuysa, tüm ifadelerin tümü / değil$\Delta$ doğruysa bunu söylemiyoruz $\Delta$tatmin edilebilir / tatmin edilemez, ancak sadece doğru / yanlış. Aynı şey tek formüller için de geçerlidir:$\phi$ belirli bir yorumda doğru / yanlıştır ve altında doğru olduğu en az bir yorum varsa / hiç yorum yoksa tatmin edilebilir / tatmin edilemez.
Bir model $\Gamma$ içinde $\phi$ yanlıştır ifade hakkında hiçbir şey söylemez $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: bu ifade sadece şunu söylüyor:$\psi$ her modelde doğrudur $\Gamma$ ve $\phi$, eğer gerçekten durum böyleyse $\phi\to\psi$ her modelde doğrudur $\Gamma$.